陳璽君

(江蘇省丹陽(yáng)市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300)(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

1 引言

在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，筆者常常遇到這樣一類較難的桿、環(huán)共同約束下的小球運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：

D．小球a從靜止運(yùn)動(dòng)至圓環(huán)最低點(diǎn)過(guò)程中，輕桿對(duì)小球a先做負(fù)功后做正功

圖1 例題題圖

2 題目評(píng)價(jià)

(1)全方位考察了學(xué)生對(duì)力學(xué)綜合知識(shí)的掌握和應(yīng)用

通過(guò)對(duì)以上題目的分析可知，該題綜合性很強(qiáng)，涉及到了功能關(guān)系，運(yùn)動(dòng)和力之間的關(guān)系，機(jī)械能守恒定律等重要力學(xué)知識(shí)點(diǎn).要求學(xué)生對(duì)于以上知識(shí)點(diǎn)的概念、規(guī)律理解深刻，運(yùn)用熟練，若作為選擇題的最后一題具有很好的區(qū)分度.

(2)能體現(xiàn)出編題者對(duì)高考關(guān)于能力考察要求的深刻理解和應(yīng)用

該題充分體現(xiàn)了高考模擬考試對(duì)于考生的理解能力、邏輯推理能力、綜合分析能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理的計(jì)算能力的考察，目標(biāo)向高考看齊.選項(xiàng)中從定性、定量、最值、排除法4個(gè)緯度來(lái)設(shè)置疑問(wèn)，需要學(xué)生具備全面的物理知識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治瞿芰?，?duì)學(xué)生的能力要求極高，應(yīng)該說(shuō)是一道好題.

(3)似乎有超綱嫌疑

連接體問(wèn)題是高考乃至各地模擬試題都喜歡挖掘的題材，越來(lái)越多的被各地高考命題組專家、模擬試題命題小組所青睞，然而本題有些選項(xiàng)似乎難度較大，應(yīng)該是一道大學(xué)理論力學(xué)試題，有超綱嫌疑，尤其是小球加速度的大小問(wèn)題是用到桿、環(huán)約束關(guān)系，甚至達(dá)到了競(jìng)賽的層次要求.

3 學(xué)生解題中的合理思維

由于學(xué)生對(duì)D選項(xiàng)的考慮理由也不夠充分，帶有猜測(cè)的成分，另外C選項(xiàng)又不能使用高中物理知識(shí)處理，因?yàn)槭桥懦ǎ匀趸藢?duì)C選項(xiàng)小球a加速度的考查，使得這道題目美中不足，留下缺憾.

為此，筆者從大學(xué)理論力學(xué)的角度和仿真物理實(shí)驗(yàn)兩個(gè)手段結(jié)合給出定量分析.

4 理論定量分析

4.1 速度、動(dòng)能定量分析

在小球a,b運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，va,vb與輕桿(或延長(zhǎng)線)的夾角均為45°，由于輕桿不可伸長(zhǎng)，故小球a,b沿桿方向速度相同.

故

vacos 45°=vbsin 45°

(1)

即

va=vb

(2)

如圖2所示，設(shè)小球a運(yùn)動(dòng)位置與圓心的連線與水平半徑的夾角為θ.

圖2 小球a運(yùn)動(dòng)中

對(duì)小球a,b與輕桿組成的系統(tǒng)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得

mgRsinθ-mgR(1-cosθ)=

(3)

由式(2)、(3)得

(4)

取g=10 m/s2，m=1 kg，R=20 m.代入式(4)得

100(sinθ+cosθ-1)=

(5)

(6)

作圖如圖3所示.

圖3 f(x)圖像1

(7)

即

(8)

代入數(shù)據(jù)得

(9)

作圖如圖4所示.

圖4 f(x)圖像2

vamax=vbmax=

(10)

與圖4十分吻合.

利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)”作出小球速度大小隨時(shí)間的變化規(guī)律圖像，如圖5和圖6所示.

圖5 仿真物理實(shí)驗(yàn)

圖6 |v|-t圖

理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.

4.2 加速度定量分析

4.2.1 切向加速度定量分析

式(7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(11)

整理可得

(12)

(13)

由式(12)、(13)可得小球a的切向加速度

(14)

代入數(shù)據(jù)得

(15)

作圖：

圖7 f(x)圖像3

4.2.2 向心加速度定量分析

由式(8)可知

(16)

代入數(shù)據(jù)得

an=10(sinθ+cosθ-1)=

(17)

作圖如圖8所示.

圖8 f(x)圖像4

4.2.3 小球合加速度定量分析

任意時(shí)刻小球a的合加速度為

(18)

代入數(shù)據(jù)得

aa合=

(19)

令

(20)

即

2(sinθ+cosθ-1)(cosθ-sinθ)=0

(21)

整理可得

(22)

(23)

(24)

式(23)可得

tanθ1=1

(25)

式(24)可得

(26)

(27)

即

(28)

(29)

因此可得結(jié)論.

(30)

(31)

(32)

作小球a的合加速度圖,如圖9所示.

圖9 小球a的合加速度圖像

圖10 圖9的精細(xì)放大圖

利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)”輸出加速度的大小隨時(shí)間變化的圖像,如圖11所示.

圖11 |a|-t圖

理論與實(shí)驗(yàn)很吻合.

4.3 輕桿受作用力定量分析

如圖12所示，小球a切線方向動(dòng)力學(xué)方程為

mgcosθ-Fcos 45°=maa

(33)

由式(14)、(33)整理可得

(34)

代入數(shù)據(jù)得

(35)

圖12 小球運(yùn)動(dòng)及受力情況

作圖如圖13所示.

圖13 f(x)圖像5

實(shí)際上小球b的速度、動(dòng)能、加速度、輕桿對(duì)其作用力變化規(guī)律與小球a一模一樣.

5 結(jié)束語(yǔ)

桿、環(huán)共同約束下小球的運(yùn)動(dòng)對(duì)高中物理來(lái)說(shuō)較難分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，筆者認(rèn)為，如果教師能夠鉆研該運(yùn)動(dòng)模型，熟知其中的理論力學(xué)規(guī)律，在高中物理知識(shí)能夠處理的范圍內(nèi)帶著規(guī)律結(jié)果對(duì)學(xué)生進(jìn)行定性和適當(dāng)定量計(jì)算方面的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的定性分析能力和邏輯推理能力，對(duì)于提高高效物理課堂教學(xué)是行之有效的；當(dāng)然，有興趣的讀者也可以設(shè)兩小球的質(zhì)量不相等，釋放點(diǎn)也可以從圓環(huán)最高點(diǎn)或其他位置釋放，桿的長(zhǎng)度可以調(diào)節(jié)等角度去研究，相信可以得到很多有意思的規(guī)律.