施興華，張 婧，王 善

（1江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2哈爾濱工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

隨機(jī)風(fēng)浪中艦船橫搖傾覆概率分析

施興華1，張 婧1，王 善2

（1江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2哈爾濱工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

以路徑積分法為基礎(chǔ)，采用Gauss-Legendre公式探討了隨機(jī)風(fēng)浪作用下艦船的運(yùn)動(dòng)及其傾覆概率計(jì)算。考慮阻尼力矩、復(fù)原力矩的非線性及風(fēng)浪的隨機(jī)性，建立了隨機(jī)風(fēng)浪中艦船運(yùn)動(dòng)的非線性微分方程，應(yīng)用路徑積分法給出白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)和定常風(fēng)傾力矩作用時(shí)橫搖角概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演變，按照現(xiàn)有的傾覆準(zhǔn)則給出艦船傾覆概率的表達(dá)式。通過算例，驗(yàn)證了路徑積分法的準(zhǔn)確性，分析了各個(gè)參數(shù)對(duì)橫搖角概率密度的影響，計(jì)算得出了不同風(fēng)速、不同航速下的傾覆概率，以及傾覆概率隨時(shí)間的變化。研究表明，此方法簡便可行，并能在數(shù)量上預(yù)報(bào)艦船在隨機(jī)風(fēng)浪下的傾覆概率。

隨機(jī)風(fēng)浪；橫搖傾覆概率；路徑積分法；Gauss-Legendre公式

Gauss-Legendre formula

1 引 言

艦船傾覆是造成人員及財(cái)產(chǎn)重大損失的嚴(yán)重事件，歷來受到造船界與航運(yùn)界的極大重視。艦船在海浪中的運(yùn)動(dòng)涉及到外載荷的隨機(jī)性和艦船運(yùn)動(dòng)的非線性。外載荷是由風(fēng)、浪等聯(lián)合引起的,具有一定的隨機(jī)性，這就導(dǎo)致艦船的傾覆是具有一定概率的隨機(jī)事件。確定該隨機(jī)事件的發(fā)生概率，對(duì)工程實(shí)際具有一定的參考價(jià)值。

非線性大幅橫搖是導(dǎo)致海浪中艦船傾覆的主要原因。目前，國內(nèi)外的不少學(xué)者基于動(dòng)力學(xué)的理論和方法，對(duì)規(guī)則波及隨機(jī)波激勵(lì)下的船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)與船舶傾覆概率進(jìn)行了研究，希望能夠解釋隨機(jī)海浪中船舶傾覆機(jī)理[1-6]。但這些方法只考慮了海浪的隨機(jī)性，而且許多學(xué)者認(rèn)為，定常力矩的存在將大大降低艦船的穩(wěn)性。為此，本文綜合考慮了船舶阻尼非線性、復(fù)原力矩非線性以及隨機(jī)風(fēng)浪激勵(lì)，將平均風(fēng)傾力矩視為定常力矩，建立了橫搖隨機(jī)微分方程，采用理論上較為成熟的路徑積分法[7]求解隨機(jī)微分方程，導(dǎo)出了艦船傾覆概率隨時(shí)間變化的表達(dá)式；分析了各個(gè)參數(shù)對(duì)橫搖角概率密度的影響，討論了不同風(fēng)速、航速對(duì)船舶傾覆概率的影響。算例表明，這種方法比較準(zhǔn)確而且簡便易行，能夠很好地反映橫搖過程，對(duì)深入探討船舶在波浪上的強(qiáng)迫非線性運(yùn)動(dòng)奠定了必要的基礎(chǔ)，可為進(jìn)一步研究艦船傾覆及穩(wěn)性橫準(zhǔn)提供有益的參考。

2 隨機(jī)風(fēng)浪擾動(dòng)力矩

風(fēng)擾動(dòng)力矩可以看作是平均值Ma與脈動(dòng)部分Md（t）兩部分組成，其中考慮艦船航速對(duì)風(fēng)速的影響，可得式中：ρ—空氣密度；A—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積；Δz—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水壓力作用點(diǎn)的距離；U（t）—艦船的航速；υd（z,t）—短周期內(nèi)脈動(dòng)風(fēng)速；υa（z）—平均風(fēng)速[8]；Cm—風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)[9]，

式中：A—艦船水線以上部分側(cè)投影面積；L—艦船結(jié)構(gòu)總長；B—艦船橫剖面寬度；z—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水線的距離。

（3）式充分反應(yīng)了船型主要因素對(duì)風(fēng)壓的影響，其變化范圍在0.955～1.418之間，如果Cm取為定值，勢(shì)必對(duì)有些船舶穩(wěn)性要求過高，而對(duì)有些船舶又會(huì)顯得不足。因此，根據(jù)船型選取不同的Cm值是較符合客觀實(shí)際的。

波浪擾動(dòng)力矩為

航速U（t）與給定z處的平均風(fēng)速都是常數(shù)，故由（1）式可知，Ma也是一常數(shù)。脈動(dòng)風(fēng)的強(qiáng)度隨時(shí)間而隨機(jī)變化，是典型的隨機(jī)過程。 由（2）式可知，Md（t）是 υd（z,t）的線性函數(shù)，所以可認(rèn)為Md（t）是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。同理，Mw（t）也是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。

3 艦船橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程

隨機(jī)橫搖運(yùn)動(dòng)的艦船受到慣性力矩、阻尼力矩和回復(fù)力矩及環(huán)境載荷的作用，故艦船大幅橫搖模型可用以下微分方程來描述

4 橫搖微分方程的求解

4.1 相應(yīng)的簡化方程

實(shí)際隨機(jī)風(fēng)浪須處理為有色噪聲，理論上來說是可以通過增加濾波系統(tǒng)并利用Markov過程來求解這一復(fù)雜的問題，而這樣處理后，將會(huì)出現(xiàn)高維數(shù)的隨機(jī)微分方程。為了便于討論，假定風(fēng)浪為白噪聲。在不影響問題結(jié)論的基礎(chǔ)上，將問題簡化為二元，即將（8）式化為

4.2 路徑積分法求解FPK方程

路徑積分的基本思想就是在空間和時(shí)間上分別離散化，以路徑和代替積分，即通過連接短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度形成全局轉(zhuǎn)移概率密度，得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。設(shè)X→（t）是n維狀態(tài)方程，其演化概率密度為

Yu[13]等人將（14）式按照Gauss-Legendre積分來離散化，得到基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法。已知第（i-1） 時(shí)刻的每個(gè)高斯積分點(diǎn)上的概率密度及相應(yīng)轉(zhuǎn)移概率密度時(shí)，借助離散化的概率密度表達(dá)式，可獲得第i時(shí)刻任意點(diǎn)的概率密度，因此僅需計(jì)算第i時(shí)刻相應(yīng)高斯積分點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率密度。這樣可大大減少計(jì)算量，最終可得到適合編程實(shí)現(xiàn)的表達(dá)式。對(duì)于一維的情況，即

式中：K—子區(qū)間數(shù)；Lk—第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)數(shù)；δk—第k子區(qū)間的長度；xkl—高斯積分點(diǎn)；ckl—相應(yīng)的權(quán)數(shù)。

一般假設(shè)短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度是近似高斯分布的。Sun和Hsu[14]提出利用矩方程導(dǎo)出短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度的一階矩和二階矩，但由于非線性隨機(jī)系統(tǒng)的矩方程一般是無窮層次、非封閉的，可利用高斯截?cái)喾ǐ@得封閉的矩方程。因此，短時(shí)概率密度可寫為

式中：E1（ti）、E2（ti）—ti時(shí)刻X的一階、二階原點(diǎn)距，可通過封閉的矩方程組[15]解出；σ2（ti）=E2（ti）-［E1（ ti）］2。

5 艦船傾覆概率計(jì)算

艦船結(jié)構(gòu)傾覆是由于橫搖角過大引起的，當(dāng)橫搖角超過某一閾值之后，就將一直增大下去而永遠(yuǎn)不會(huì)回到平衡位置。艦船的傾覆是一個(gè)不可再現(xiàn)的事件，因此不可能用通常的概念來定義傾覆概率。這里定義在任意時(shí)刻t，艦船結(jié)構(gòu)的傾覆概率為

式中：p（ φ, ）t—t時(shí)刻橫搖角的邊緣概率密度；φv1—正穩(wěn)性消失角；φv2—負(fù)穩(wěn)性消失角。

6 計(jì)算實(shí)例及分析

采用fortran90語言自編程序，對(duì)某艦船在初始時(shí)刻遭受白噪聲風(fēng)浪及平均風(fēng)傾力矩聯(lián)合作用下橫搖傾覆進(jìn)行了分析計(jì)算，計(jì)算船的主要參數(shù)如表1所示。

表1 計(jì)算船的主要參數(shù)Tab.1 The parameters of ship

如果（9）式中非線性阻尼系數(shù)v3=0，定常橫傾力矩Xa=0，則該方程有精確平穩(wěn)解為[13]

式中：C—?dú)w一化常數(shù)。

圖1中（a）為精確平穩(wěn)解，（b）為用路徑積分法所得解（t=100s），兩者基本一致，則表明路徑積分法能很好地解決這一類隨機(jī)動(dòng)力學(xué)問題。

當(dāng)考慮風(fēng)速和航速的影響即加入定常橫傾力矩及計(jì)入非線性阻尼時(shí)，該方程沒有解析解。這時(shí)可采用上述的路徑積分法來討論這個(gè)問題，并分析各個(gè)參數(shù)對(duì)橫搖角概率密度的影響。

圖2為橫搖角邊緣概率密度隨三次回復(fù)力矩系數(shù)c3變化圖。從圖中可看出，隨著三次復(fù)原力矩系數(shù)c3的減小，其概率密度峰值逐漸減小，分布的范圍變大，即橫搖角概率密度的集中程度隨著三次復(fù)原力矩系數(shù)c3的減小而逐漸降低。

圖3、4分別為橫搖角邊緣概率密度隨著隨機(jī)擾動(dòng)力矩系數(shù)γ、橫搖衰減系數(shù)v的變化圖。由圖可知，γ越大，橫搖角概率分布的峰值越小，但橫搖角的變化范圍變大；而對(duì)于橫搖衰減系數(shù)v的增大，其概率分布峰值增大，分布范圍減小。上述分析說明γ的增大傾覆概率變大，v增大傾覆概率減小，這與根據(jù)穩(wěn)性所作的直觀判斷是一致的。

考慮風(fēng)速和航速對(duì)船舶橫搖傾覆即定常橫傾力矩對(duì)橫搖響應(yīng)的影響。圖5為va=22.5m/s，U=18kns時(shí)艦船橫搖角邊緣概率分布隨時(shí)間的演變過程，初始時(shí)刻（t=0）橫搖角圍繞正浮位置分布，但由于計(jì)入風(fēng)速和航速的影響，橫搖角則圍繞定常力矩引起的傾角分布。由圖5可看出，邊緣概率密度的峰值隨著時(shí)間的增長而逐漸減小，但橫搖角的分布范圍隨著時(shí)間的增大而增大。

圖6給出了航速分別為18kns和32kns時(shí)艦船橫搖傾覆概率隨風(fēng)速的變化曲線。由圖可知，航速和風(fēng)速的增大均能使艦船的傾覆概率增加。在航速和風(fēng)速均為最大即va=30m/s，U=32kns時(shí)，其橫搖傾覆概率達(dá)到0.009 54。圖7為在va=22.5m/s，U=18kns，艦船傾覆概率隨時(shí)間的變化曲線，可明顯看出，從0-20s傾覆概率不斷增大，最大值為0.007 2，在隨后的持續(xù)時(shí)間內(nèi)趨于平穩(wěn)值。

7 結(jié) 論

本文將基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法用于對(duì)隨機(jī)風(fēng)浪中艦船的傾覆概率進(jìn)行計(jì)算分析。由上述理論和實(shí)例分析，可得出如下結(jié)論：

（1）路徑積分法的近似解與精確解結(jié)果比較表明，本文的方法在研究隨機(jī)激勵(lì)下艦船的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)是非常有效的，能很好地解決艦船在隨機(jī)風(fēng)浪聯(lián)合作用下的傾覆概率問題，也可用于解決其它一些類似的非線性動(dòng)力問題。

（2）考慮到艦船的結(jié)構(gòu)形式比較特殊，改變傳統(tǒng)的處理方法，將風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)Cm視為變化量，計(jì)入船型因素對(duì)風(fēng)擾動(dòng)力矩的影響，同時(shí)考慮了航速對(duì)風(fēng)速的影響，即風(fēng)以相對(duì)風(fēng)速的形式作用于艦船，給出了計(jì)入航速影響的風(fēng)擾動(dòng)力矩計(jì)算公式，更符合實(shí)際情況。

（3）計(jì)算結(jié)果表明，艦船的三次復(fù)原力矩、隨機(jī)擾動(dòng)力矩系數(shù)、橫搖衰減系數(shù)均對(duì)橫搖角概率分布有一定的影響。橫搖角概率密度的集中程度隨著三次復(fù)原力矩系數(shù)c3、橫搖衰減系數(shù)v的減小而逐漸降低，隨著γ增大而降低。

（4）艦船的傾覆概率與風(fēng)速、航速等因素密切相關(guān)，即傾覆概率隨著風(fēng)速、航速的增加明顯增大，而且艦船在剛遭受外激作用時(shí)，其傾覆概率逐漸增大，隨后趨于平穩(wěn)。這與根據(jù)實(shí)際情況所作的判斷相符，故艦船在航行時(shí)，必須根據(jù)海域風(fēng)浪的情況來調(diào)節(jié)航速以保證其穩(wěn)性。

（5）本文用白噪聲過程代替實(shí)際風(fēng)浪的有色噪聲過程，與實(shí)際情況相比有一定的誤差，而合理的濾波系統(tǒng)可能會(huì)改善計(jì)算結(jié)果，這樣必將出現(xiàn)高維方程。因此，高維FPK方程的求解將是一個(gè)重要的研究方向。

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Analysis of rolling capsizing probability of warship under random wind and beam seas

SHI Xing-hua1,ZHANG Jing1,WANG Shan2
(1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212003,China;2 School of Civil Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

The path integration method based on Gauss-Legendre integration scheme was applied to the motion of ship subjected to random wind and beam seas.Considering the nonlinear damping moment,restoring moment and random wind and seas,the nonlinear differential equation for ship’s rolling motion was established.The rolling angle probability density was analyzed using the path integration method,when the ship was subjected to white noise disturbance and a stationary wind moment,then capsizing probability was also calculated according to the presented rules.The presented method was capable of producing accurate results,which could be proved through the example.At the same time,the influence of each parameter on the probability density was analyzed.Furthermore,the capsizing probability at different velocity of wind and sailing was calculated,and the probability with time was also computed.The study shows that this method is easy to achieve.Thus the rolling capsizing probability of warship in random wind and beam seas could be predicted quantitatively by the proposed method.

random wind and beam seas;rolling capsizing probability;path integration method;

U661.22

A

1007-7294（2011）05-0473-07

2010-12-01

江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10KJB58002）；江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目（CJ0904）

施興華（1981-），男，博士，講師，研究方向：結(jié)構(gòu)可靠性，E-mail:shixinghua9@163.com。