齊 秀 麗

(綏化學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，黑龍江 綏化 152061)

1 引言

積分理論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點部分，而整個積分理論(包括一元函數(shù)的定積分，多元函數(shù)的重積分、曲線積分、曲面積分)用于解決實際問題時所使用的思想方法均來自于微元法。因而，微元法成為積分理論應(yīng)用部分的教學(xué)重點。

2 微元法分析

2.1 微元法思想下的定積分應(yīng)用

對于曲邊梯形面積的計算、變速直線運動路程的計算、變力做功的計算等問題，從數(shù)學(xué)角度來看，解決這些問題的方法、結(jié)果是相同的。拋開這些問題的實際背景，抽取出共同的數(shù)學(xué)過程，形成了定積分的概念。下面以“變速直線運動的路程”為例進行分析。

如果某個要求的量A依賴于定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)，而且具有區(qū)間可加性，可以考慮利用定積分進行計算，如距離、功、面積、體積、質(zhì)量等。不管是求曲邊梯形的面積，還是求變速運動的物體經(jīng)過的路程，總的思路都是先將所求問題從數(shù)量的角度進行劃分，然后對細小的部分量進行近似求解，作出有限項的和，最后求極限。

用微元法的思想，通過定積分求A的步驟：

(1)由具體問題，選取積分變量x，并確定它的取值區(qū)間為[a,b]。

(2)在[a,b]上任取一個小區(qū)間，記為[x,x+dx]，并記在該區(qū)間上A的部分量為ΔA。如果ΔA能近似地表示為一個連續(xù)函數(shù)f(x)在x處的值與dx的乘積，即ΔA≈f(x)dx,記dA=f(x)dx,且ΔA-dA是一個比Δx高階的無窮小量，則稱dA為對應(yīng)于所求量A的微元。

問題中，微元dA=f(x)dx的含義如下表所示。

f(x)表示的量dx表示的量f(x)dx表示的量∫baf(x)dx表示的量直線運動的速度時間間隔位移位移力距離功功電流強度時間間隔電量電量線密度長度質(zhì)量質(zhì)量面積長度體積體積……………………

2.2 三個重要公式的原理分析

2.2.1 直角坐標系下平面圖形面積公式

設(shè)平面上四邊形由兩條曲線y=f1(x)、y=f2(x)，其中f1,f2為定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且f2(x)≥f1(x),x∈[a,b]及直線x=b,x=a所圍成，求其面積A。

分析：把四邊形向x軸做投影，得到了x軸上的區(qū)間[a,b]。要求的四邊形面積可以看做是分布在[a,b]上的整體量。該整體量滿足微元法的兩個條件。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為[a,b]。設(shè)想把[a,b]分成若干個小區(qū)間，并把其中的代表性小區(qū)間記作[x,x+dx]，與這個小區(qū)間相對應(yīng)的窄四邊形的面積ΔA近似等于高為|f2(x)-f1(x)|dx，底為dx的窄矩形的面積|f2(x)-f1(x)|dx，從而得到面積元素dA，即dA=[f2(x)-f1(x)]dx，于是得到所求平面圖形的面積為

2.2.2 極坐標系下平面圖形面積公式

設(shè)曲線ρ=ρ(φ)(ρ(φ)∈c[α,β])與射線φ=α,φ=β圍成一圖形(稱為曲邊扇形，0≤ρ≤ρ(φ),α≤φ≤β以下簡稱曲邊扇形)，求其面積A。

2.2.3 旋轉(zhuǎn)體的體積

設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由平面上的曲邊梯形0≤y≤f(x),a≤x≤b繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。

3 例題詳解

3.1 定積分在求變力做功中的應(yīng)用

從物理學(xué)知識知道，如果物體在受到恒力F(大小和方向均不變)的作用而作直線運動的過程中，當物體移動了距離S時，恒力F對物體相應(yīng)的所做的功是W=FS。但如果其所受力F是變化的，則可以利用微元法的思想用定積分求變力所作的功。

例1：如圖1所示，在地面下挖一圓柱形水池，底半徑為5m，高為20m，其中灌滿了水。求把所有的水抽到地面所作的功。

解：由于池中的水是被連續(xù)不斷地抽到地面，被抽出的水可以被分割成不同的水層。而不同的水層與地面的距離不等，因而它們被抽出所作的功也不相等。將每一小薄層被抽出時需要的功定義為功微元，該問題符合微元法的條件。

在液面處取原點，豎直向下做x軸。從池內(nèi)抽水時，池內(nèi)液面逐漸降低，當由x處下降dx時，因dx很小，可近似地認為這“一層水”統(tǒng)統(tǒng)都提升了x，因而對這距離原點長度為x、厚度為dx的“水層”所作的功微元dW有近似計算公式

dW≈25πxdx(J)

把水抽完時，池內(nèi)的液面從0m降到20m，從而所求的功為

3.2 定積分在求液體靜壓力的應(yīng)用

在這類問題中，總假設(shè)液體是靜止的。物理學(xué)中關(guān)于壓力的幾個基本原理如下：

(1)面積為s的平板水平放置在液體中，在液面下深為h，則平板一側(cè)所受液體的靜壓力為F=ρghs。

(2)密度均勻的薄板的一側(cè)受液體的靜壓力，其受壓部分的面積為s，受壓部分的重心位于液體中的深度為h，則薄該側(cè)所受液體靜力為F=ρghs。

(3)密度均勻的物體的外側(cè)受液體的靜壓力，其受壓力部分的表面積為s，受壓力部分的重心位于液體中的深度為h，則物體外所受液體的靜壓力為F=ρghs。

例2：如圖2所示，一形狀規(guī)則水下閘門的寬為4m，高為3m，其頂在水下5m，它垂直于水面放置。求它所受的水壓力。

解：如圖2建立坐標系。如果將閘門分成許多平行于液面的小條，閘門上所受的壓力等于各窄條上所受壓力的總和。當每一橫條很窄，窄條上各點的深度變化不大，因而其各點處的壓強，可用上方橫線上的壓強來近似計算，任取一窄條(圖中陰影部分)，其壓強可近似為1·x=x，小窄條的面積為ΔA=4dx，所以ΔP≈x·4dx。從而

另外公式中所用的函數(shù)f(x)均指相應(yīng)區(qū)間上的單值連續(xù)函數(shù)。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2]李凱,周學(xué)君.關(guān)于兩類定積分的求解方法[J].太原師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2008，(4).

[3]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2001.