鄭利凱

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

1 引言

判斷Rn中的點集E是否可測是實變函數(shù)論學(xué)科研究的重要內(nèi)容，也是實變函數(shù)其它理論的基礎(chǔ)．本文以卡拉泰奧多里條件為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出Rn中的點集E是可測集的一個充要條件.

下面給出一些基本結(jié)論和引理．

定義1[1-2]設(shè)E為Rn中的點集,如果對于任一點集T?Rn,都有:m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE)(卡拉泰奧多里條件),則稱E是L可測的或可測的,這時E的外測度m*E稱為E的L測度,記為mE，其中m*T為T的L外測度.

引理1[1-2]設(shè)A?B,則m*A≤m*B.

引理3[4]設(shè)S1,S2都可測,則S1∪S2也可測,并且當(dāng)S1∩S2=φ時,對于任意集合T總有m*[T∩(S1∪S2)]=m*(T∩S1)+m*(T∩S2).

引理4[5]S可測的充要條件是CS可測.

引理6[6]區(qū)間I都是可測集合,且mI=|I|.

引理7 設(shè)E是Rn中可測集,則?ε>0,存在閉集F?E,使得m(E-F)<ε.

證明當(dāng)mE<時,?ε>0,存在一列開區(qū)間{Ii},i=1,2,…,使得?E,且令則G為開集,G?E,且因此mG-mE<ε,從而m(G-E)<ε.

當(dāng)mE<時,E總可以表示為可數(shù)個互不相交的有界可測集的并集,即其中En=(Sn-Sn-1)∩E,Sn為球S(0,n),En為有界可測集.根據(jù)以上結(jié)論,對每個En,存在開集Gn,使得Gn?En且令則G為開集,G??因此,(引理5)<ε.

當(dāng)E可測時,CE也可測,所以對任意ε>0,存在開集G,G?CE,且m(G-CE)<ε.又因為G-CE=G∩E=E∩C(CG)=E-CG,令F=CG,則F是閉集且F?E,m(E-F)=m(G-CE)<ε.

2 Rn中可測集的一個充要條件

根據(jù)以上引理,可以得出Rn中的點集可測的一個充要條件.

定理1 點集E?Rn為可測集的充要條件是:?正數(shù)ε>0,?閉集F1和F2,使得F1?E,F2?CE,且m(Rn(F1∪F2))<ε.

充分性 若Rn中的點集E滿足:?正數(shù)ε>0,?閉集F1和F2,使得：F1?E,F2?CE,且m(Rn(F1∪F2))<ε.Rn(F1∪F2)=Rn∩C(F1∪F2)=Rn∩CF1∩CF2,由m(Rn(F1∪F2))<ε,可得:Rn∩CF1∩CF2<ε.任意點集T?Rn,因為F1?E,所以CE?CF1,T∩CE?T∩CF1.根據(jù)引理1有m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1).同理,m*(T∩E)≤m*(T∩CF2).m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1)+m*(T∩CF2)=m*(T∩CF1∩(F2∪CF2))+m*(T∩CF2).因為F2∩CF2=φ,根據(jù)引理3有:m*(T∩CF1∩(F2∪CF2))=m*(T∩CF1∩F2)+m*(T∩CF1∩CF2).所以m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1∩F2)+m*(T∩CF1∩CF2)+m*(T∩CF2)≤m*(T∩F2)+ε+m*(T∩CF2)因為F2∩CF2=φ,根據(jù)引理3有:m*(T∩F2)+m*(T∩CF2)=m*(T∩(F2∪CF2))=m*(T∩Rn)=m*T.所以有:m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*T+ε.由ε的任意性,可得m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*T.又T=T∩Rn=T∩(E∪CE)=(T∩E)∪(T∩CE),由引理2可得:m*T=m*((T∩E)∪(T∩CE))≤m*(T∩E)+m*(T∩CE),所以有:m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE).根據(jù)定義1可知:點集E是Rn中的可測集.

3 可測集的充分必要條件的應(yīng)用

下面應(yīng)用這個充分必要條件,證明Cantor集為可測集.

例1 證明Cantor集P為可測集.

證明因為Cantor集P是閉區(qū)間[0,1]去掉可數(shù)個互不相交的開區(qū)間得到的點集,所以由點集P的做法可知,Cantor集P是沒有內(nèi)點的完備集,疏朗的完備集.下面以定理1證明Cantor集P是可測集.

又因為Cantor集P是完備集,所以可以取閉集F1=P,則F1?P,m(P-F1)=0.因為Rn(F1∪F2)=(P∪CP)(F1∪F2)=(P(F1∪F2))∪(CP(F1∪F2))?(P-F1)∪(CP-F2),所以m(Rn(F1∪F2))≤m((P-F1)∪(CP-F2))≤m(P-F1)+m(CP-F2)<0+ε=ε.

根據(jù)定理1可知Cantor集P是可測集.

利用這個充要條件,類似例1可以容易地證明Rn中的一切完備疏朗集都是可測集.可見,定理1為判斷Rn中的點集是不是可測集提供了很大方便.

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