亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        關(guān)于不定方程x2+4n=y5

        2011-12-28 03:39:00崔保軍

        崔保軍

        (甘肅民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,甘肅合作 747000)

        關(guān)于不定方程x2+4n=y5

        崔保軍

        (甘肅民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,甘肅合作 747000)

        用代數(shù)數(shù)的方法證明了不定方程 x2+4n=y5僅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m).

        不定方程;整數(shù)解;整環(huán)

        設(shè)A,B∈N,A無平方因子,關(guān)于不定方程:

        的解的討論是數(shù)論中的一類重要課題.當(dāng) A=1,B=1時(shí),Lebesgue[1]證明了(1)無整數(shù)解.Nagell[2]證明了當(dāng)A=2,B=1,n=5時(shí),方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=( ±11,3).文獻(xiàn)[3]給出了 x2+4n=y3在 2|n 時(shí)的整數(shù)解.本文利用代數(shù)數(shù)論的方法證明了不定方程 x2+4n=y5僅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(n,x,y)=(5m+2,±25m+2,2·4m).為此,先引入引理

        引理1 不定方程2m-1=5z2僅有解m=0,z=0;不定方程2m+1=5z2僅有解m=2,z=1.

        證明:對于不定方程2m-1=5z2,若m≥2,兩邊取mod 4,得-1≡1(mod 4),可知此時(shí)方程無解;m=1時(shí)也無解.故該方程僅有解m=0,z=0.

        同理可證不定方程2m+1=5z2僅有解m=2,z=1.

        引理2[4]設(shè) M 是唯一分解整環(huán),正整數(shù) k≥2,以及 α,β∈M,(α,β)=1,那么若 αβ = γk,γ∈M,則有 α=ε1μk,β =ε2νk,μ,ν∈M,其中 ε1,ε2是 M 中的單位元素,并且 ε1ε2=εk,ε 為單位元素.

        定理1 不定方程:

        僅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N).

        證明 首先考慮x≡1(mod 2)的情況.在Z[i]中式(2)可以寫為(x+2ni)(x-2ni)=y5,x,y∈N.設(shè) δ=(x+2ni,x -2ni),由 δ|(2x,2·2ni)=2,知 δ只可能是1,1+i,2.因 x≡1(mod 2)知 x+2ni≡1(mod 2),所以δ≠2:如果 δ≠1+i,則 N(1+i)|N(x+2ni),即2|x2+4n,但 x≡1(mod 2),產(chǎn)生矛盾.因此 δ=1,由此及引理2知:

        因而有:

        由式(4)有 b= ±1,±2t,±2n,其中 t∈N,1≤t≤n -1.以下就 b的取值情況分別討論方程(2)得解.

        若 b= ±1,則 ±2n=5a4-10a2+1,即5(a2-1)2=4±2n.因2|4 ±2n,此時(shí)有 a=0 或 a≡1(mod 2),由式(4)推得x≡0(mod 2),這與x≡1(mod 2)矛盾.

        若 b= ±2t,則有 ±2n-t=5a4-10a24t+42t,即4·42t±2n-t=5(a2-4t)2,此時(shí)必有 a≡0(mod 2),得到 x≡0(mod 2),這也與x≡1(mod 2)矛盾.

        若b= ±2n,則有±1=5a4-10a24n+42n,即4·42n±1=5(a2-4n)2,由引理1可知此時(shí)方程也無解.

        再考慮x≡0(mod 2)的情況,此時(shí)y也是偶數(shù).由對x≡1(mod 2)的情況的討論知,只需考慮(x,4n)=2n.

        1)若 n=5m,令 x=25mx1,y=4my1,則方程(2)變?yōu)?x21+1=y51.由對 x≡1(mod 2),n=0 的討論知必有 x1=0.推知此時(shí)方程(2)僅有解 x=0,n=5m,y=4m.

        2)若 n=5m+1,令 x=25m+1x1,y=2·4my1,則方程(2)變?yōu)?x21+1=8y52,由于 x1為奇數(shù),取 mod 8,知此時(shí)方程(2)無解.

        3)若 n=5m+2,令 x=25m+2x1,y=2·4my1,則方程(2)變?yōu)?

        根據(jù)文獻(xiàn)[4]上面的結(jié)果可寫成 x1+i=(1+i)(a+bi)5,x1,a,b∈Z.

        即1=a5+5a4b-10a3b2-10a2b3+5ab4+b5=(a+b)[(a+b)4-20a2b2].

        有第一式知 a+b= ±1,(a+b)4-20a2b2= ±1,因而必有 ab=0,由此解出 a=0,b=1;a=1,b=0,在由第二式知x1= ±1,進(jìn)而得到方程(2)的解為n=5m+2,x= ±25m+2,y=2·4m.

        4)若 n=5m+3,令 x=25m+3x1,y=4m+1y1,則方程(2)變?yōu)?x21+1=16y51.由于 x1為奇數(shù),取 mod 8,知此時(shí)該式無解,進(jìn)而有方程(2)無解.

        5)若 n=5m+4,令 x=25m+4x1,y=4m+1y1,則方程(2)變?yōu)?x21+1=4y51,由于 x1為奇數(shù),取 mod 4,知這種情況下方程(2)無解.

        綜合以上討論知,不定方程(2)僅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N).

        定理得證.

        由本文的定理1可知文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]的結(jié)果只是本文在n=3和n=1的特殊情況.

        [1] Lebesgue V A.Sur limpossibilite en nobers entiers de equation xm=y2+1[J].Nouv Amn Math,1850,9(1):178 -181.

        [2] Nagell T.Sur limpossibilite de quelques equations deux indeterminees[J].Norsk Marem Forenings Skrefter Senel,1921,13:65 -82.

        [3] 王振,張慧.關(guān)于Diophantine方程x2+4n=y3[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,27(3):220-222.

        [4] 潘承洞,潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,2003:111-113.

        [5] 高媛媛,郭金保.關(guān)于不定方程x2+64=y5[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,29(1):6-7.

        [6] 高媛媛,郭金保.關(guān)于不定方程 x2+4=y5[J].江西科學(xué),2010,28(1):7 -8.

        On the Indefinite Equation x2+4n=y5

        CUI Bao-jun
        (Department of Mathematics,Gansu Normal University for Nationalities,Hezuo 747000,China)

        In this paper,the author has proved that the indefinite equation x2+4n=y5has only integer solution(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N) .

        integer solution;indefinite equation;integer ring

        O156

        A

        1008-8423(2011)01-0049-02

        2010-12-24.

        崔保軍(1980-),男,碩士,講師,主要從事數(shù)論的研究.

        亚洲日韩欧洲无码av夜夜摸 | 中国精品18videosex性中国| 欧美日韩中文国产一区发布| 日韩欧美国产自由二区| 亚洲综合天堂av网站在线观看| 少妇高潮在线精品观看| 日日碰狠狠添天天爽| 国产精品无码一区二区在线国| 国产精品女同一区二区久| 亚洲乱码av乱码国产精品| 久久久久久曰本av免费免费| 欧美激情二区| 久久精品国产精品亚洲毛片| 国产精品电影久久久久电影网| av在线播放中文专区| 国产午夜福利久久精品| 又大又粗弄得我出好多水| 精品理论一区二区三区| 粉嫩极品国产在线观看免费一区| 亚洲妇女无套内射精| 久久国产精品不只是精品| 中文天堂一区二区三区| 亚洲一区二区三区内裤视| 亚洲日本在线电影| 99久久精品一区二区三区蜜臀| 精品黄色国产一区二区| 97se亚洲国产综合自在线观看 | 亚洲精品美女久久久久久久| 国产女主播在线免费看| 大地资源网在线观看免费官网| 国产精品欧美成人| 男人天堂AV在线麻豆| 国产片在线一区二区三区| 国产成人精品久久综合| 亚洲片一区二区三区| 在线观看国产精品一区二区不卡| 少妇被又大又粗又爽毛片久久黑人 | 国产一区av男人天堂| 亚洲av无码一区二区三区观看| 无码国产精品第100页| 成年人视频在线观看麻豆|