摘 要：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，是高中階段非常重要的兩個基本初等函數(shù)。本文主要討論一下當(dāng)a>1時，指對數(shù)函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下是否會有交點的問題，如果有交點那么底數(shù)a取值要如何確定，要用怎樣的方法來解決這個問題。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；切線；單調(diào)性

中國分類號：G420 文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2010）4-024 -01

蘇教版教材必修1第二章“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ”第三節(jié)“對數(shù)函數(shù)”，有一張用計算器通過列表描點的方法作出的指對數(shù)函數(shù)的圖象（底a為2），指對數(shù)函數(shù)圖象無交點。大概是熟視無睹的緣故，我們常常誤認為：當(dāng)a>1時函數(shù)y=logax的圖象與函數(shù)y=ax的圖象無交點。

真的是這樣嗎？答案是否定的。舉個例子：

當(dāng)x=2時函數(shù)y=1.1x的圖象與直線y=x有交點，那么由反函數(shù)的對稱性可知函數(shù)y=1.1x的圖象與函數(shù)y=log1.1x的圖象就肯定有交點。

因此得出結(jié)論：當(dāng)a>1時，函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=logax的圖象可以無交點也可以有交點，那么，能否找出判斷有無交點的一個明確具體的a范圍呢？

直接找函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=logax的圖象的交點有難度，不妨探究當(dāng)a>1時函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x的位置關(guān)系。因為函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對稱，若函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x有交點，則此交點也在函數(shù)y=logax的圖象上。

1.先求出函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x相切時的值。那么這個臨界值a如何求呢？

設(shè)切點P(x0，y0)，則，y′|x=x0=axlna|x=x0=ax0lna=1，

又y0=ax0，y0=x0，

∴ax0=x0，

∴x0lna=1，

∴x0=1lna，

∴a1lna=1lna，

lna1lna=ln1lna，

1lnalna=ln1lna，

即1=ln1lna，

∴1lna=e，

a=e1e。

即當(dāng)a=e1e時，

函數(shù)y=(e1e)x的圖象與直線y=x相切。

2.證明了函數(shù)y=(e1e)x的圖象與直線y=x相切，是否就證明了它們之間除切點外無交點呢？不一定。因為兩函數(shù)圖象相切可以有兩個或多個交點，只有一個公共點只是切點處附近的性質(zhì)。

再證明：設(shè)函數(shù)y=ax的圖象與直線y=x切點坐標(biāo)為，當(dāng)時切點為(1lna，1lna)，

當(dāng)a=e1e時切點為P（e，e），

如果x>e，y′=(e1e)xlne1e>

(e1e)elne1e=1；

同理如果0≤x<e，0

如果x<0，正負顯然。

∴函數(shù)y=(e1e)x圖象上的點除切點外都在直線y=x的上方。

因為函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以當(dāng)a=e1e時，

函數(shù)y=logax與直線y=x相切且圖象上的點除切點外都在直線y=x的下方。此時，

函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=logax的圖象也相切且只有一個公共點即切點。

3.那么當(dāng)a在什么范圍內(nèi)，函數(shù)的圖象全在直線y=x的上方呢？

證明：利用冪函數(shù)單調(diào)性知，a∈(e1e，+∞)。

如果x≥0，∵a>e1e，

∴y=ax>(e1e)x；

如果x<0，上下顯然。

由對稱性，當(dāng)a>e1e時，函數(shù)y=logax的圖象全在直線y=x的下方，指對數(shù)函數(shù)圖象無交點。

同理可證，當(dāng)1

歸納小結(jié)當(dāng)a>1時指對數(shù)函數(shù)圖象的位置：

當(dāng)a>e1e時，兩函數(shù)的圖象無交點；

當(dāng)a=e1e時兩函數(shù)的圖象只有一個交點；

當(dāng)1

這樣我們通過導(dǎo)數(shù)知識，利用函數(shù)的切線作為臨界，從而確定出兩個函數(shù)底數(shù)a的取值范圍，這樣我們常常認為的：

當(dāng)a>1時函數(shù)y=logax的圖象與函數(shù)y=ax的圖象無交點是錯誤的。這讓我們對指數(shù)數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的位置關(guān)系有了更深一步的認識。