一、 進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念
高中階段是在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射,接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念,主要是用映射觀點來闡明函數(shù),這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù),特別是二次函數(shù)為例來加以更深地認(rèn)識函數(shù)的概念。
二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應(yīng),記為f(x)= ax2+ bx+c(a≠0),這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則,又表示定義域中的元素X在值域中的像,從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識,在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后,可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題:
例1已知f(x)= 2x2+x+3,求f(x+1)
這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值,只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
例2設(shè)f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
這個問題理解為,已知對應(yīng)法,則f下定義域中的元素x+1的像是x2-4x+1,求定義域中元素X的像,其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。
一般有兩種方法:
(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項式。
f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得
f(x)=x2-6x+6。
(2) 變量代換:它的適應(yīng)性強(qiáng),對一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1,則x=t-1?!?t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,從而f(x)= x2-6x+6。
二、 二次函數(shù)的單調(diào)性,最值與圖像
在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時,必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞,-]及[-,+∞) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證,使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上,與此同時,進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性,給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí),使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
例3畫出下列函數(shù)的圖像,并通過圖像研究其單調(diào)性。
(1)y=x2+2|x-1|-1。
(2)y=|x2-1|。
(3)= x2+2|x|-1。
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示,然后畫出其圖像。
例3:設(shè)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t),求g(t)并畫出 y=g(t)的圖像。
解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1時取最小值-2。
當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2。
當(dāng)t>1時,g(t)=f(t)=t2-2t-1。
當(dāng)t<0時,g(t)=f(t+1)=t2-2。
g(t)=t-2, (t<0)-2,(0≤t≤1)t-2t-1,(t>1)。
首先要使學(xué)生弄清楚題意,一般地,一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但當(dāng)定義域發(fā)生變化時,取最大或最小值的情況也隨之變化,為了鞏固和熟悉這方面知識,可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求該函數(shù)的值域。
三、 二次函數(shù)的知識,可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的兩個根x1,x2滿足0 (1)當(dāng)X∈(0,x1)時,證明X(x) (2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對稱,證明x0< 。 解題思路: 本題要證明的是x (1)先證明x 因為0 根據(jù)韋達(dá)定理,有x1x2=,∵ 0 c=ax1x2 即x (2)∵f(x)=ax2+bx+c=a(x+-)2+(c-),(a>0) 函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=- ,且是唯一的一條對稱軸,因此,依題意,得x0=-,因為x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根據(jù)違達(dá)定理得,x1+x2= -,∵x2-<0, ∴x0=-=(x1+x2-)<,即x0=。 二次函數(shù),它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù),可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題。 (浦江縣浦江中學(xué))