綜合題是指涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多、面比較廣，并且對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)以及他們之間的聯(lián)系比較深刻的一類問題。解這類問題時(shí)，往往需要多種數(shù)學(xué)方法合理配合運(yùn)用，或者要求有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力。因此，解綜合題，除了具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，還需要掌握分析問題、探索解題思路和選擇數(shù)學(xué)方法等技巧，這樣才能實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)。

一、 實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論的統(tǒng)一是解題的根本

問題是由條件和結(jié)論兩部分組成，解決問題就是實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論的統(tǒng)一。即由條件逐步導(dǎo)出結(jié)論。因此，分析問題首先是分析條件和結(jié)論之間的差別和聯(lián)系，解題的途徑就是縮小差異，擴(kuò)大聯(lián)系，直至實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論統(tǒng)一的目標(biāo)。在分析問題時(shí)，可以通過以下兩個(gè)問題展開:

第一，題設(shè)的條件有哪些?有這些條件可以得到哪些結(jié)論?

第二，所求問題的結(jié)論是什么?要得到這些結(jié)論需要哪些條件?

例1已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tgαtgβ的值。

分析:怎樣利用已知的兩個(gè)等式?初看好像找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系，只好從未知tgαtgβ入手，當(dāng)然，首先想到的是把tgα、tgβ分別求出，然后求出它們的乘積，這是個(gè)辦法，但是不好求;于是可考慮將tgαtgβ寫成，轉(zhuǎn)向求sinαsinβ、cosαcosβ。

令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=。

從方程的觀點(diǎn)看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉(zhuǎn)向求x+y=cos(α-β)，x-y=cos(α+β)。這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題:

已知 cosα+cosβ=①，cosα+cosβ= ②

求cos(α+β)、cos(α-β)的值。

①2+②2得2+2cos(α-β)=，cos(α-β)=。

②2-①2得cos2α+cos2β+2cos(α+β)=，cos(α+β)=-。

這樣問題就可以得以順利解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個(gè)基本組成部分。

二、 合理轉(zhuǎn)化是解題的有效途徑

在解決問題的過程中，常常遇到一些比較復(fù)雜的、陌生或非標(biāo)準(zhǔn)的問題，這些問題往往不易直接得到解答。那么就需要我們通過變形，促使問題不斷轉(zhuǎn)化，最后將它歸結(jié)為較簡(jiǎn)單，熟悉的或標(biāo)準(zhǔn)的已經(jīng)解決或容易解決的問題。這就是思考問題與解決問題的一種重要策略思想——化歸思想。實(shí)際上，數(shù)學(xué)中運(yùn)用化歸思想分析解決問題的范例，幾乎處處可見。在解方程或不等式時(shí)，通常都是將“無理”轉(zhuǎn)化為“有理”“分式”轉(zhuǎn)化為“整式”“高次”轉(zhuǎn)化為“一次或二次”;在立體幾何中，常將空間圖形的問題，通過隔離法或類比，將它轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的平面圖形問題;在解析幾何問題中，通過建立直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過坐標(biāo)變換，將非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式的曲線方程。因此，樹立化歸意識(shí)，對(duì)于迅速確定解題途徑具有重要意義。

例2直線L的方程為:x=-(p>0)，橢圓中心D(2+，0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問P在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離?

分析: 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成:P為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題(研究方程組解的情況)。

解:由已知得:a=2，b=1，A(，0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有:y=2px+y2=1，消y得:x2-(4-7p)x+(2p+)=0。

所以由Δ=16-64p+48p2>0，即6p2-8p+2>0，解得:p<或p>1。

結(jié)合范圍(，4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)=x2-(4-7p)x+(2p+)=0，所以<<4+，即p<，且f()>0、f(4+()>0，即p>-4+3。

結(jié)合以上，所以-4+<3

本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題，這樣就可以應(yīng)用判別式將問題輕易解決。

對(duì)于問題的轉(zhuǎn)化，最重要的是確定轉(zhuǎn)化的方向。而轉(zhuǎn)化方向的確定，除了要具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握一定的基本問題，還需要善于聯(lián)想。通常在遇到一些陌生問題時(shí)，應(yīng)充分聯(lián)想在自己已知的問題中，有無與這一類問題類似的問題(包括條件類似、結(jié)論類似、問題提法類似、圖形類似等)，即從不熟悉中尋找熟悉的因素，并以此為契機(jī)，予以突破，進(jìn)而分析能否將原問題轉(zhuǎn)化為已知問題，或借助已知問題的解題思路確定轉(zhuǎn)化的方向。適時(shí)地合理轉(zhuǎn)化能幫助我們更快地找到解題的思路，不失為解題的一條捷徑。

三、 分類討論是解題的有效手段

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是:分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

例3在xoy平面上給定曲線y2=2x，設(shè)點(diǎn)A(a，0)，∈R，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。

分析:求兩點(diǎn)間距離的最小值問題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題，進(jìn)而對(duì)參數(shù)a的取值進(jìn)行討論。

解:設(shè)M(x，y)為曲線y2=2x上任意一點(diǎn)，則|MA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=x2-2(a-1)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1)。