摘要：從信息論的角度看，數(shù)學(xué)問題的解決過程就是信息的捕捉、處理、應(yīng)用和跟蹤的過程。所以，從信息論的角度去分析和解決數(shù)學(xué)問題，可以作為一種特別的探求數(shù)學(xué)解題思路的方法。本文闡述了這樣的觀點(diǎn)，并介紹了兩種方法。

關(guān)鍵詞：信息論思想；數(shù)學(xué)解題；延伸條件；關(guān)注弱項(xiàng)

從信息論的角度看，數(shù)學(xué)問題的解決過程就是信息的捕捉(主要任務(wù)是收集與存儲信息，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的審題過程)、處理(主要任務(wù)是提取與加工信息，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的分析過程)、應(yīng)用(主要任務(wù)是將處理后的信息進(jìn)行有目的和有序的反饋，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的解答過程)和跟蹤(主要任務(wù)是對反饋出去的信息進(jìn)行跟蹤了解，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的檢驗(yàn)與反思過程)的過程——筆者稱之為用于探求數(shù)學(xué)解題思路的信息論思想。由此可見，從信息論的角度去分析和解決數(shù)學(xué)問題，可以作為一種特別的探求數(shù)學(xué)解題思路的方法。如果在應(yīng)用常見的數(shù)學(xué)思想方法解題過程中，你還能有意識地用信息論思想幫助探求解題思路的話，那么你一定會發(fā)現(xiàn)，信息論思想在數(shù)學(xué)解題中常會帶給人們驚喜。

下面就介紹兩種捕捉信息的方法：

1. 延伸條件法

所謂延伸條件就是把已知條件(也可以是題目要求的問題。下同)向前推一至兩步或把條件變化一下。有時候看條件本身好像得不到我們需要的信息，按自己的經(jīng)驗(yàn)感覺不到條件延伸后的作用或不愿意將某些條件作有意識的延伸，但在解題思路遇阻的情況下，將條件有意識地延伸一下，你或許會發(fā)出“原來如此”的感嘆！

例1(2007北京高考數(shù)學(xué)試卷第20題)已知集合A={a，，a2，…ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1，2，…，k)。由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a，b)|a∈A，b∈A，a-b∈A}。其中(a，b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)為m和n。若對于任意的a∈A，總有-aA，則稱集合A具有性質(zhì)P。

(1)檢驗(yàn)集合{O，1，2，3}與{一1，2，3}是否具有性質(zhì)P，并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；

(2)對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤；

(3)判斷m和數(shù)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

分析與簡評：這里只對第(3)問作分析。不少學(xué)生遇此感到無法下手，為何？好像就這兩個條件：集合S和集合T，看不出這兩個集合之間有什么關(guān)系(因?yàn)閷儆赟的元素推不出屬于T，反之亦然)，各自的元素個數(shù)m和他們又求不出來。怎么辦呢?我們需要捕捉隱藏在表面信息背后的信息。由于題目告訴我們這兩個集合之間肯定有某種關(guān)系，所以我們應(yīng)該將這兩個集合的元素加以比較和聯(lián)系。將集合S和集合T的元素特征比較、關(guān)聯(lián)后再延伸一下，我們發(fā)現(xiàn)：若(a，b)∈S，則(a+b，b)∈T；若(a，b)∈T，則(a-b，b)∈S。顯然捕捉到這樣一個信息是解決問題的關(guān)鍵，因?yàn)橄旅嬖僬f明“若(a，b)與(c，d)不同，則(a+b，b)與(c+d，d)不同，(a-b，b)與(c-d，d)也不同”是自然的事，而且簡單。

2. 關(guān)注弱項(xiàng)法

有些題目條件復(fù)雜，其中有些條件與要解決的問題表面上看關(guān)聯(lián)度較低，給解題者的刺激較弱或印象不深，這些條件不妨稱為弱項(xiàng)條件，反之稱為強(qiáng)項(xiàng)條件或中項(xiàng)條件。弱項(xiàng)條件容易被解題者忽視，可有時找不到解題思路，就是因?yàn)闆]有用到這些弱項(xiàng)條件。所以在解題思路遇阻的情況下，把弱項(xiàng)條件拿來試用一下，你或許會“柳暗花明又一春”。

例2一批物品，分為3種：超重、正常、過輕。超重用H表示，正常用N表示，過輕用L表示?，F(xiàn)在要稱出物品屬于哪一種，如果物品超重就會顯示A，正常顯示B，過輕顯示C。由于位置偏移，超重顯示為正常的物品數(shù)占總數(shù)的15%，即P(B|H)=0.15，正常顯示為過輕的物品數(shù)占總數(shù)的10％，即P(C|N)=0.1，又已知H占15％，即P(H)=0.15，同樣，P(N)=0.75，P(L)=0.1。求：P(H|A)、P(N|B)、P(L|C)。

分析與簡評：很多學(xué)生都說這個題目少條件了，認(rèn)為至少還要知道P(A|H)、P(A|N)、P(A|L)、P(B|L)才能用Bayes定理計(jì)算，而根據(jù)條件無法求出P(A|H)、P(A|N)、P(A|L)，P(B|L)。真的無法求出上面4個量嗎？不是。想想為什么有時超重卻顯示為正常，正常卻顯示為過輕呢？是因?yàn)椤拔恢闷啤?！“位置偏移”這個非數(shù)量化的條件沒有引起人們的注意，如果想到應(yīng)用這樣一個條件的話，那么由題目的已知條件可以推出：P(A|H)=0.85，P(C|H)=0，P(A|N)=0，P(B|N)=0.9，P(A|L)=0，P(B|L)=0，P(C|L)=1，這下問題就簡單了!事后有人感嘆：我把問題復(fù)雜化了，或者說我們的注意力都集中到純概率問題上，如果能從信息論的角度去分析，我們應(yīng)該能關(guān)注到“位置偏移”這樣一個弱項(xiàng)條件。

參考文獻(xiàn)：

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廣東教育(綜合版)，2007(5)．

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（鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院）