計算數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算之一，初學(xué)者極易出錯。本文就極限計算中常見的錯誤進(jìn)行了歸納總結(jié)。

一、極限運(yùn)算應(yīng)用最多的是極限的四則運(yùn)算法則，在應(yīng)用法則中往往容易忽略法則的條件

例1求［++……+］。

原式=++……+=0+0+……+0=0。

此解法主要運(yùn)用了“有限個具有極限的數(shù)列和的極限等于它們的極限之和”這一運(yùn)算法則，但對于此題是不能應(yīng)用這一法則的，因為法則的條件必須是有限個數(shù)列和。

正確的解法是：

設(shè)xn=［++……+］，

yn=［++……+］=，

zn=［++……+］=，

則有yn＜xn＜zn(n=1，2，……)，yn===1，

zn==1，所以xn=1。

例2求simx=0。

原式=simx =0。

此解法主要運(yùn)用了“具有極限的兩個函，數(shù)積的極限等于它們極限的積”。雖然結(jié)果正確，但解法是錯誤的，因為法則的條件是具有極限的函數(shù)，而這里simx不存在。

正確的解法：根據(jù)有界量與無窮小量的乘積仍是無窮小量，得到simx=0。

二、在極限的計算過程中濫用替代法

例3。

原式==0。

此解法中，運(yùn)用了若α～α′，

β～β′，則=的結(jié)論，但忽略了和差運(yùn)算不能用無窮小替代。

正確的解法：分子二項可分別用泰勒展開式代替

===。

三、在極限的計算過程中，常常運(yùn)用初等數(shù)學(xué)的恒等變換，在變換過程中，忽視算術(shù)根的概念

例4x(-x)。

原式====。

這里x→∞，包括x→+∞，x→-∞，當(dāng)x→+∞計算同上式，但x→-∞時，注意算術(shù)根的概念。

==∞。

四、在極限的計算過程中，先對部分函數(shù)求極限造成錯誤

例5求（cosx）。

原式=（cosx）=1=1。

正確的解法：

（cosx）=[1+(cosx-1)]={[1+(cosx-1)]}，

而[1+(cosx-1)]=e，==-，

原式=e=。

（鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院）