喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）是20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家、偉大的數(shù)學(xué)教育家、享有國(guó)際盛譽(yù)的數(shù)學(xué)方法論大師。波利亞十分重視解題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，他對(duì)解題的思維過(guò)程進(jìn)行了多年的專門(mén)研究和實(shí)踐，其解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書(shū)中，該書(shū)的核心是分解解題的思維過(guò)程得到的一張“怎樣解題表”。這張包括“弄清問(wèn)題”“擬訂計(jì)劃”“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四部分內(nèi)容。弄清問(wèn)題是為好念頭的出現(xiàn)作準(zhǔn)備；擬訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過(guò)程和求解的結(jié)果，是試圖更好地利用它。所有這一切，使得數(shù)學(xué)解題的研究擺脫了就題論題的狹窄天地，進(jìn)入到規(guī)律探索的較高層次。從解題論的觀點(diǎn)看，這實(shí)際上是既提出了“怎樣解題”又提出了“怎樣學(xué)會(huì)解題”的問(wèn)題。

一、波利亞的“怎樣解題”表

第一步：你必須弄清問(wèn)題。（弄清問(wèn)題）

(1)已知是什么？未知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

(2)畫(huà)張圖，將已知標(biāo)上。

(3)引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

(4)把條件的各個(gè)部分分開(kāi)，你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？

第二步：找出已知與未知的聯(lián)系(如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃)。(制訂計(jì)劃)

(1)你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？

(2)你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

(3)看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。

(4)這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

(5)回到定義去。

(6)你能否解決問(wèn)題的一部分？如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。我能不能想出一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

(7)你是否利用了所有的條件？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？

第三步：實(shí)行你的想法。（實(shí)現(xiàn)計(jì)劃）

(1)實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，勇敢地寫(xiě)出你的方法，并檢驗(yàn)每一步驟。

(2)你能否說(shuō)出你所寫(xiě)的每一步的理由？你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

第四步：驗(yàn)算所得到的解。（回顧）

(1)你能否一眼就看出結(jié)論？

(2)你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？

(3)你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問(wèn)題？

二、對(duì)“怎樣解題”表的研讀

波利亞的“怎樣解題”表(樸實(shí)無(wú)華的解題表)，其特點(diǎn)是：明顯的普遍性與常識(shí)性；一連串的發(fā)問(wèn)，給出思路與建議；提出的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)解題者的思維按一定方向搜索、加工、分析、應(yīng)用信息。

改為現(xiàn)行的解題四程序：審題；思索解法；實(shí)施解題計(jì)劃；檢驗(yàn)、回顧、引拓。

1. 審題（解題的基礎(chǔ)與前提）

解題者運(yùn)用元認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納演繹、分析綜合、抽象概括、類比、聯(lián)想等方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別，以形成深刻的連貫的表象(包括對(duì)已知信息、目標(biāo)狀態(tài)的清晰完整的認(rèn)識(shí)，明確允許施行的運(yùn)算規(guī)定與操作要求，必要時(shí)用圖表形象地表明已知、目標(biāo)及其之間的聯(lián)系)，審題的結(jié)果要寫(xiě)出形式化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2. 思索解法(解題的關(guān)鍵)

解題者在審題獲取信息的激勵(lì)下啟動(dòng)思維，剖析問(wèn)題結(jié)構(gòu)、尋找解題方法、探索解題途徑、制訂解題方案。剖析問(wèn)題結(jié)構(gòu)通過(guò)：(1)回想(自覺(jué)在腦中過(guò)一遍)：見(jiàn)過(guò)此題嗎？見(jiàn)過(guò)相同的條件、結(jié)論、圖形(像)嗎？(2)聯(lián)想：見(jiàn)過(guò)類似有關(guān)的問(wèn)題、條件、結(jié)論、圖形(像)嗎？(3)類比：可否利用類似的條件、結(jié)論與思想方法？(4)變換：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋匾淖儞Q，把它化歸為與此有關(guān)的問(wèn)題。(5)構(gòu)造：創(chuàng)設(shè)輔助條件(包括輔助圖形、函數(shù)、元素等)以揭示已知與目標(biāo)之間的聯(lián)系。尋找解題方法：即思考解決問(wèn)題大致需要哪些知識(shí)、方法。探索解題途徑：應(yīng)用各種思維方法探求思路(大膽地試驗(yàn)、猜想大致的思路，再去檢驗(yàn)、修正)。制訂解題方案：制訂分步實(shí)施程序。

3. 施解題計(jì)劃(解題的主體工作)

解題者按制訂的解題計(jì)劃與程序，實(shí)施變換、運(yùn)算、推理、作圖，得問(wèn)題的解。要注意運(yùn)算的合理性，作圖的準(zhǔn)確性，推理的嚴(yán)密性，以及表述的條理性、規(guī)范性。

4. 檢驗(yàn)、回顧、引拓(解題的必要程序)

檢驗(yàn)：答案是否正確、合理、完整？每一步推理是否有理有據(jù)？運(yùn)算是否準(zhǔn)確？過(guò)程是否有疏漏或繁冗多余之步驟？(事實(shí)上，在解題過(guò)程中及解答后均要檢驗(yàn))回顧：本解法可否改進(jìn)或簡(jiǎn)化？可否有其他的解法？總結(jié)規(guī)律及思想方法的本質(zhì)，以得出一類問(wèn)題的基本解法。引拓：從不同角度對(duì)問(wèn)題本身展開(kāi)研究，問(wèn)題的條件、結(jié)論或整個(gè)問(wèn)題的變換、引申、推廣所得到的問(wèn)題有什么規(guī)律？

三、“怎樣解題”表的實(shí)踐

例 已知：a1，a2，a3…，an是n個(gè)正數(shù)，且滿足a1·a2·a3……an=1。

求證：（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥3n。

解題過(guò)程：

1. 審題

代數(shù)問(wèn)題，條件不等式的證明。目標(biāo)式結(jié)構(gòu)特征：左邊為n個(gè)相同結(jié)構(gòu)因式的乘積；右邊為與a1無(wú)關(guān)之3n，

2. 思索解法

(1)回想：見(jiàn)過(guò)此題嗎？(沒(méi)有)

(2)聯(lián)想：見(jiàn)過(guò)類似問(wèn)題嗎？(見(jiàn)過(guò))

已知：a1，a2，a3…，an是n個(gè)正數(shù)，且滿足a1·a2·a3……an=1，求證： (1+a1)·(1+a2)……(1+an)≥2n。

(3)類比：可否利用類似的條件、結(jié)論與思想方法？

∵ 2+ai≥2(i=1，2，…，n)， 相乘得（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥(2)n，但(2)n≥3n不成立。

(4)分析失敗原因：原解1+ai≥2（i=1，2，…，n）等號(hào)成立的充要條件ai=1可以滿足，但2+ai≥2 （i=1，2，…，n）等號(hào)成立的充要條件ai=2，已知條件不滿足，與a1·a2·a3……an=1矛盾?？梢?jiàn)在a1·a2·a3……an=1條件下，2+ai≥2縮小過(guò)度。

(5)變換：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋匾淖儞Q，把它化歸為與此有關(guān)的問(wèn)題。

盯住目標(biāo)（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥3n中的“3”，出現(xiàn)在均值不等式中的數(shù)需三個(gè)。

(6)調(diào)整思路：變換條件2+ai=1+1+ai≥333 (i=1，2，…，n)， 相乘得（2+a1)·(2+a2)·L·(2+an)≥3n當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an=1時(shí)“=”成立。

3. 表述解法（略）

4. 回顧

(1)在解題方法上，這個(gè)案例是綜合法證明不等式的一次成功應(yīng)用。

(2)在知識(shí)上，這個(gè)案例是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的一次成功應(yīng)用。

(3)可否有其他的解法？

與n有關(guān)的命題，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=1時(shí)，2+a1=3≥31成立。

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)≥3k成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，須在條件a1·a2·a3……ak·ak+1（ai>0）下，證明（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)·(2+ak+1)≥3k+1。

如果ai中至少一個(gè)為1，不妨設(shè)ak+1=1，則2+ak+1=3，由假設(shè)得（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)·(2+ak+1)≥3k·3=3k+1。

如果ai均不為1，由a1·a2·a3……ak·ak+1=1（ai>0）知ai中至少有一個(gè)大于1，且至少有一個(gè)小于1，不妨設(shè)ak+1>1，ak<1，

根據(jù)a1·a2·a3……ak·ak+1=1（ai>0），由歸納假設(shè)得（2+a1)·(2+a2)……(2+ak-1)(2+akak+1)≥3k，即（2+a1)·(2+a2)……(2+ak-1)(6+3akak+1)≥3k+1，只需證明(2+ak)·(2+ak-1)≥6+3akak+1即可。

即證ak+ak+1-1-akak+1≥0，

即證(1-ak)·(ak+1-1)≥0，

而∵ak+1>1，ak<1，上式顯然成立。

綜上，對(duì)?坌n∈N*，a1·a2·a3……an=1且ai>0，都有 (1+a1)·(1+a2)……(1+an)≥2n。

(4)引申、推廣所得到的問(wèn)題有什么規(guī)律？

拓廣已知：a1，a2，a3…，an是n個(gè)正數(shù)，且滿足a1·a2·a3……an=1，求證：(m+a1)·(m+a2)……(m+an)≥(m+1)n。證明類似，讀者不妨一試。

四、小結(jié)

有此表，不能企望一定可以解決所有的問(wèn)題，但可以使解題者較快地打開(kāi)思路，提高解題成功的可能性。因而，當(dāng)教師恰當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生提出表中的問(wèn)題和建議時(shí)，有可能達(dá)到兩個(gè)密切關(guān)注的目的：第一，幫助學(xué)生解決手頭的問(wèn)題；第二，培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)能夠獨(dú)立解題的能力。

（南通市通州區(qū)三余中學(xué)）