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(定遠(yuǎn)中學(xué) 安徽定遠(yuǎn) 233200)

一道中考題的追溯、提煉及其應(yīng)用

●韓敬

(定遠(yuǎn)中學(xué) 安徽定遠(yuǎn) 233200)

作為衡量學(xué)生學(xué)習(xí)成果的中考試題，凝聚著中考命題專家們的智慧，體現(xiàn)了新課改精神和命題的導(dǎo)向.深入研究中考試題的命題背景以及與往年中考試題的關(guān)系，并從中總結(jié)規(guī)律，對(duì)于提高學(xué)生的解題能力是一個(gè)很好的途徑.下面以2009年安徽省數(shù)學(xué)中考試卷中的一道題為例說明，以饗讀者.

1 試題及其解析

例1如圖1，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G．

(1)寫出圖中3對(duì)相似三角形，并證明其中的1對(duì)；

(2009年安徽省數(shù)學(xué)中考試題)

圖1 圖2

分析(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下證明△AMF∽△BGM．由∠AMG=∠MGB+∠B且∠AMG=∠AMF+∠DME，可得

∠AMF=∠MGB.

又因?yàn)椤螦=∠B，所以

△AMF∽△BGM．

(2)略．

2 追溯

由這道題聯(lián)想到課本中的一道習(xí)題：滬科版第95頁C組復(fù)習(xí)題的第1題.

例2如圖2，△ABC，△DEF均為正三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上,請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)與△DBE相似的三角形并證明.

分析由題意知：∠B=∠C=∠DEF=60°，不妨找△ECH與△DBE相似.因?yàn)椤?+∠DEF=∠2+∠B，所以∠1=∠2.又∠B=∠C，故

△ECH∽△DBE.

同理可得 △DAG∽△DBE;△GFH∽△DBE.

因此與△DBE相似的三角形有△DAG，△GFH，△ECH.

3 對(duì)比反思、提煉基本圖形

由例2中的隱含條件“∠B=∠C=∠DEF=60°”到例1中的“∠DME=∠A=∠B=α”這一變化，可以看出例1的形成是以例2為背景的，例1是例2的延伸、拓展.這里體現(xiàn)了“一般與特殊”的關(guān)系,這樣的關(guān)系促使我們再來思考例1.經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)：如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠B=∠C=∠EPF=α?xí)r，總有△BPE∽△CFP；

類似地，把這里的“等腰三角形”替換為“等腰梯形”，如圖4所示.顯然當(dāng)∠B=∠C=∠EPF=α?xí)r，也總有△BPE∽△CFP.特別地，當(dāng)∠B=∠C=∠EPF=90°時(shí)，如圖5所示,顯然有△BPE∽△CFP，于是得到了3個(gè)較為常見的基本圖形.

圖3 圖4 圖5

4 探索應(yīng)用

從近幾年的中考數(shù)學(xué)試題可以發(fā)現(xiàn)這3個(gè)基本圖形頻頻出現(xiàn)，命題者以此模型為背景，直接或間接地利用這樣的模型，命制出一批構(gòu)思巧妙、立意新穎的好題.

4.1 直接應(yīng)用

例3如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合)，且∠BEF=120°.設(shè)AE=x，DF=y.

(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

(2007年江蘇省南京市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)由∠ABC=60°，可知∠A=∠D=120°，所以∠A=∠D=∠BEF=120°.由基本圖形4可得，△ABE∽△DEF，于是

AB∶DE=AE∶DF，

即

6∶(6-x)=x∶y，

整理得

評(píng)注此題將相似三角形與二次函數(shù)的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，解決本題的關(guān)鍵是解決第(1)小題.而在第(1)小題中,巧用基本圖形4是迅速解決問題的突破口.由基本形易得2個(gè)三角形相似，再根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例”這一性質(zhì)，從而得到了函數(shù)表達(dá)式.要完成第(2)小題，只要對(duì)這個(gè)表達(dá)式進(jìn)行正確的配方即可.

圖6 圖7

例4如圖7，正方形ABCD邊長為4，M，N分別是BC，CD上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.

(1)證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.

(2)設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積.

(3)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值.

(2009年廣東省數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)由∠B=∠C=∠AMN=90°，可得基本形圖5，易得Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.

當(dāng)x=2時(shí),y取到最大值,即當(dāng)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)時(shí),ABCN的面積最大,最大值為10.

(3)要使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，只要AB∶AM=BM∶MN成立即可.由第(1)小題知Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，顯然AB∶AM=MC∶MN，因此

BM∶MN=MC∶MN，

即BM=MC，故M為BC的中點(diǎn)，此時(shí)x=2.

評(píng)析這是一道關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型的綜合性較強(qiáng)的試題.本題把相似三角形的內(nèi)容與二次函數(shù)內(nèi)容巧妙地融合，對(duì)于第(1)小題，利用基本圖形5，易證得2個(gè)三角形相似，這對(duì)相似三角形是解決后2個(gè)問題的必要條件；利用這對(duì)相似三角形中的成比例線段，第(2)小題順利得解；尤其是第(3)小題，由逆向思考，再結(jié)合原相似三角形中的成比例線段，從而巧解該小題.

4.2 逆向應(yīng)用

圖8

例5如圖8，已知△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)A,B出發(fā)，分別沿AB,BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P,Q都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，解答下列問題：

(1)當(dāng)t=2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設(shè)△BPQ的面積為S(cm2)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

(2008年福建省福州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)易證△BPQ為等邊三角形.

(2)易得

(3)由QR∥BA可得,∠APR=∠QRP及BQ=AR.要使△APR∽△PRQ，只需∠A=∠QPR=60°即可.當(dāng)∠QPR=60°時(shí)，有

∠A=∠B=∠QPR=60°，

可得基本圖形3，易知△BQP∽△APR，所以

BQ∶BP=AP∶AR，

即

2t∶(6-t)=t∶2t，

評(píng)注本題是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型的問題.前2個(gè)小題學(xué)生容易解答.對(duì)于第(3)小題，難度較大.若考慮到將其轉(zhuǎn)化為基本圖形3，巧妙地構(gòu)造出2個(gè)三角形相似，利用比例線段,易求得t值.本小題運(yùn)用逆向思維,把問題轉(zhuǎn)化為基本圖形來解決,這一轉(zhuǎn)化使問題變得簡單、易解，學(xué)生的逆向思維能力得到提高，也滲透了轉(zhuǎn)化思想.

4.3 構(gòu)造應(yīng)用

圖9

(1)求證:△AOE與△BOF的面積相等.

(2)記S=S△OEF-S△ECF,當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)C恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2008年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)容易證得△AOE與△BOF的面積相等.

S△EOF=S矩形AOBC-S△BOF-S△AOE-S△ECF=

12-k-S△ECF,

因而

S=S△EOF-S△CEF=12-k-2S△ECF=

(3)假設(shè)存在點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)C恰好與邊OB上的點(diǎn)G重合.作EH⊥OB于點(diǎn)H，則

∠EHG=∠GBF=∠EGF=90°.

可得基本圖形5，顯然△EGH∽△GFB，因此

EH∶GB=EG∶GF.

代入解得

在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即

評(píng)析前2個(gè)小題考查的是反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的幾何意義，不難解決;第(3)小題是一個(gè)折疊型問題,又是一個(gè)關(guān)于“點(diǎn)是否存在型說理題”，難度較大.但在假定點(diǎn)F存在的情況下，巧妙地構(gòu)造出基本圖形5，這是解決問題的突破口，題目難度也因此大大降低.由“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)，可求出GB，再結(jié)合勾股定理，建立方程解得k值，從而說明點(diǎn)F是存在的.

圖10

例7如圖10,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸上,與y軸的交點(diǎn)為B(0，1)，且b=-4ac.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使得以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出此時(shí)圓心點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)根據(jù)第(2)小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B，P，C這3個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系？

(2008年湖北省荊門市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)易知c=1,由b2-4ac=0與b=-4ac,可得b=-1,從而

因此

(2)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)C.設(shè)C(x,y)，則

∠AOB=∠ADC=∠BAC=90°，

可得基本圖形5，易得

△AOB∽△CDA，

于是

AO∶OB=CD∶DA，

即

2∶1=y∶(x-2)，

解得

y=2x-4.

由

解得

x1=10,y2=16或x2=2,y2=0.

因此點(diǎn)C存在，且坐標(biāo)為(10，16)或(2，0).

當(dāng)C(10，16)時(shí),P2為BC的中點(diǎn),過點(diǎn)P2作P2F⊥OD于點(diǎn)F，可得點(diǎn)F為OD的中點(diǎn).由梯形中位線定理,易知

所以

(3)設(shè)B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3)，由第(2)小題的分析可知

圖11

評(píng)析第(1)小題利用方程思想，易得所求函數(shù)的解析式;求解第(2)小題的關(guān)鍵在于利用“直徑所對(duì)的圓周角為直角”，巧妙地構(gòu)造出基本圖形5，這一轉(zhuǎn)化可以說是化陌生為熟悉，大大縮短了思考時(shí)間.在假定點(diǎn)C存在的情況下，利用2個(gè)三角形相似及原函數(shù)的關(guān)系式，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，易判斷點(diǎn)C存在，也由此探究出第(3)小題的結(jié)論.

例8如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,2)．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求過點(diǎn)A，O，B的拋物線的表達(dá)式；

(3)連結(jié)AB，在第(2)小題中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得S△ABP=S△ABO．

(2009年陜西省數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．由

∠AFO=∠AOB=∠OEB=90°

可得基本圖形5，顯然

Rt△AFO∽R(shí)t△OEB，

所以

即BE=2，OE=4，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(4，2)．

(2)易求得拋物線的表達(dá)式為

(3)由題意知AB∥x軸.設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d，則

易得d=2，顯然點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0或4.

當(dāng)y=0，即

時(shí)，解得x=0或x=3，因此符合條件的點(diǎn)為P1(0,0)，P2(3,0)；

同理可得:當(dāng)y=4，即

時(shí),解得

評(píng)析本題是一道融幾何與代數(shù)為一體的綜合性試題，此題中的3個(gè)小題的設(shè)計(jì)有梯度，后1個(gè)小題的解決都是建立在前幾個(gè)小題的基礎(chǔ)上，因此第(1)小題解答的正確與否直接關(guān)系到后2個(gè)小題.顯然，巧妙地構(gòu)造出基本圖形5是解決本題的關(guān)鍵，這一構(gòu)造把求點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相似問題來解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想．