● (周莊高級(jí)中學(xué) 江蘇興化 225711) ● (戴窯高級(jí)中學(xué) 江蘇興化 225741)

圓錐曲線中三直線斜率成等差數(shù)列的3個(gè)命題

●張乃貴(周莊高級(jí)中學(xué) 江蘇興化 225711) ●邢友寶(戴窯高級(jí)中學(xué) 江蘇興化 225741)

最近筆者在研究圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中三直線斜率成等差數(shù)列的3個(gè)命題，現(xiàn)將之整理成文，與大家交流．希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)和研究有所啟發(fā)與幫助．

命題1過拋物線y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M(m,0)(m≠0)的直線AB與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，N是定直線l:x=-m上的任一點(diǎn)，則直線NA,NM,NB的斜率成等差數(shù)列．

圖1 圖2

y2-2pty-2pm=0，

從而

y1y2=-pm.

推論1M(m,0),N(-m,0)(m≠0)為拋物線y2=2px(p>0)對(duì)稱軸上的2個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線AB與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，則∠BNM=∠ANM或∠BNM+∠ANM=180°．

圖3 圖4

x1=ty1+m,x2=ty2+m.

(a2+b2t2)y2+2b2mty+b2(m2-a2)=0，

從而

當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，A(-a,0)，B(a,0)，得

圖5 圖6

只要將命題2證明過程中的b2換成-b2，即可得命題3的證明．