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(武陟縣第一中學(xué) 河南武陟 454950)

線性規(guī)劃在求解不等式范圍問題中的應(yīng)用

●王雷義

(武陟縣第一中學(xué) 河南武陟 454950)

不等式范圍的求解是一個重點內(nèi)容，在利用不等式性質(zhì)求解不等式的范圍時，要正確理解其性質(zhì)，切不可盲目濫用，應(yīng)注意不等式的應(yīng)用方向.在解題過程中，有時會出現(xiàn)似乎可以運用不等式性質(zhì)解題，且出現(xiàn)范圍擴大、性質(zhì)失效的現(xiàn)象.如果能夠轉(zhuǎn)換思路，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，往往可以避免錯誤的發(fā)生，從而達(dá)到求解的目的.因此用線性規(guī)劃解決這類問題顯然是一種比較好的方法，下面就這個問題略舉幾例說明.

例1已知函數(shù)f(x)=ax2+bx，1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-1)的取值范圍.

解法1利用不等式的性質(zhì)求解.

錯解因為f(-1)=a-b，f(1)=a+b,所以由題意得

由不等式組利用不等式性質(zhì)進(jìn)行加減消元得

從而由f(-2)=4a-2b,可得

3≤f(-2)≤12.

錯因分析不等式的性質(zhì)除了個別外，其他的條件和結(jié)論間都不是充要條件，而只是充分條件.在解題中，使用性質(zhì)定理，尤其是反復(fù)使用性質(zhì)定理會使求解的范圍擴大、變量的范圍擴大，從而出現(xiàn)增根.本題正是因為多次利用了不等式性質(zhì)中的加法法則(同向可加性)，而此法則是單向的，不具有可逆性，從而使a,b的范圍擴大，這樣f(-2)的范圍也隨著擴大了.

因為a-b,a+b中的a,b不是獨立的，而是相互制約的，所以若將f(-2)用a-b和a+b表示，則問題可以得解.

正解設(shè)f(-2)=xf(-1)+yf(1)(x,y為待定系數(shù))，則

4a-2b=x(a-b)+y(a+b)，

即

4a-2b=(x+y)a-(x-y)b.

于是

x=3,y=1,

從而

f(-2)=3f(-1)+f(1).

由題意

1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

可得

5≤3f(-1)+f(1)≤10,

故

5≤f(-2)≤10.

點評嚴(yán)格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則，是正確解決此類題的保證.

如果利用數(shù)形結(jié)合的方法解題,那么線性規(guī)劃就不失為一種絕妙的好方法.

解法2利用線性規(guī)劃求解.

建立線性約束條件，由1≤f(-1)≤2，可得

1≤a-b≤2；

由2≤f(1)≤4，可得

2≤a+b≤4.

因此可得線性約束條件不等式組

圖1

線性目標(biāo)函數(shù)為f(-2)=4a-2b，如圖1所示，過點(0，0)作直線l0:4a-2b=0.把直線l0向右下方平行移動到位置l′時，直線經(jīng)過點A，此時f(-2)=4a-2b取得最小值.解方程組

f(-2)min=5.

把直線l0向右下方平行移動經(jīng)過點C，此時f(-2)=4a-2b取得最大值.解方程組

f(-2)max=10,

故

5≤f(-2)≤10.

點撥通過線性規(guī)劃求f(-2)的最大值和最小值,避免了反復(fù)使用性質(zhì)定理而導(dǎo)致范圍擴大，出現(xiàn)增根的現(xiàn)象，結(jié)果直觀明了，不易出錯.

解法1利用不等式的性質(zhì)求解.

從而

又由α<β，可得

山水集團(tuán)單筆債券未按時兌付直接導(dǎo)致其他債務(wù)交叉違約,不但會影響到債券市場正常的運行秩序，還會對市場參與主體和投資者的切身利益以及中介機構(gòu)的信譽帶來較大的影響。另外，商業(yè)銀行的貸款也會由于其資金緊張，安全性難以保障。一旦出現(xiàn)貸款違約后，又會引起債權(quán)銀行提前收回貸款，進(jìn)一步加劇了企業(yè)兌付債券的難度。如企業(yè)資金鏈斷裂，最后可能出現(xiàn)債權(quán)銀行和債券持有人權(quán)益同時遭受較大損失的局面。

解法2利用線性規(guī)劃求解.

建立線性約束條件，由題意可得不等式組

圖2

得

即

點評利用線性規(guī)劃解答此題，條理清晰，簡單明了.

思維導(dǎo)引由題目可獲得的信息是：利用已知條件(字母的取值范圍)求代數(shù)式的范圍.

本題可利用不等式的可加性和可乘性求解.

解法1利用不等式的性質(zhì)求解.

由6

8

因為-3<-b<-2,所以

3

解法2利用線性規(guī)劃求解.

建立現(xiàn)行約束條件.由題意可得不等式組

圖3

(1)如圖3,作直線a+b=0,把直線a+b=0向右上方平移經(jīng)過點A(6,2)，取得最小值，即

Zmin=6+2=8，

經(jīng)過點C(8,3)取得最大值，即

Zmax=8+3=11,

所以

8

(2)

作直線a-b=0，把直線a-b=0向右下方平行移動經(jīng)過點D(6,3)，取得最小值，即

經(jīng)過點B(8,2)取得最大值，即

所以

3

點評本題用線性規(guī)劃求解不如用不等式性質(zhì)求解簡單，但也體現(xiàn)出以數(shù)變形的直觀性，再次說明了線性規(guī)劃在解決不等式范圍問題中的優(yōu)越性.

華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合思想的妙處對于求解不等式范圍問題中同樣起著重要作用.我們知道，函數(shù)圖像和不等式有著密切的聯(lián)系,因此利用數(shù)形結(jié)合可以使問題直觀明了，從而更能形象地解決問題.

不等式問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化.抓住了這點，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這還需要我們不斷地去領(lǐng)悟、體會和總結(jié).