龍明生， 岑燕君， 李 銘

(華南師范大學物理與電信工程學院，廣東廣州 510631)

電子聲子相互作用對Graphene能帶的修正

龍明生， 岑燕君， 李 銘*

(華南師范大學物理與電信工程學院，廣東廣州 510631)

研究了電子聲子相互作用對Graphene電子能帶的影響,把電子和LO光頻聲子相互作用當作微擾，用微擾論方法計算了電子聲子相互作用對電子能帶的修正. 計算結果表明，在費米面附近，Graphene電子能帶下移，電子費米速度下降．計算結果和實驗測量基本符合．

單層石墨； 電子聲子相互作用； 能帶結構

Graphene是最近新發(fā)現的一種由單層石墨構成二維晶體材料[1]．以前，人們認為二維碳原子層在現實中是不可能存在的，即使分離石墨層的力不損傷石墨層，石墨自身的熱釋放也會像焚紙一樣摧毀石墨層．但是2004年《Science》上的一篇文章報道A.K.Geim等人成功分離出了單層石墨層，證實了這種二維材料是可以穩(wěn)定存在的[2-3]．他們用一種類似于“削鉛筆”的方法，制成了單層碳原子層， 制造出了Graphene這種材料．Graphene這種新材料的獨特性質引起了國際上材料學界的廣泛關注．

Graphene是一層按照蜂窩狀晶體點陣排列的碳原子[4]．它呈二維層狀結構，如圖1(a)所示．其點陣并不是完全平坦的，而是有小的起伏[5]．Graphene晶體點陣的每個元胞包含2個碳原子，如圖1(a)中陰影區(qū)所示. 相鄰碳原子通過SP2雜化軌道形成價鍵．Graphene的能帶結構如圖1(b)所示．由圖可見，在布里淵區(qū)的6個頂角上，Graphene的價帶與導帶點連通.這些頂角附近的能帶呈線性色散關系[6]，如圖1(b)中放大后的插圖所示．這些頂角稱為狄拉克點[7]. 載流子的有效質量在狄拉克點附近消失．這正是Graphene的奇特性質的根源．

由于Graphene能帶在狄拉克點附近的線性關系，Graphene具有許多奇特的物理性能．首先，載流子的速度接近光速以及無質量的特性使Graphene成為研究相對論效應的一種理想材料．此外，Graphene中的電子運動速度高，遷移率高，可以用來制造高速響應的電子器件．目前,曼徹斯特大學的研究人員用graphene制造出了可以在常溫下運行的單電子晶體管(SET)的模型[8]．這種晶體管只有1個原子層厚、10個原子寬，給半導體工業(yè)帶來了一個新的發(fā)展機遇．研究人員估計，如果能去除材料中的雜質，Graphene可望在室溫下實現高達200 000 cm2/Vs的電子遷移率，比硅材料高大約100倍．最近，人們還發(fā)現Graphene材料在室溫下出現量子霍爾效應[9-10]，對研究量子現象有重要價值．

圖1 Graphene的晶體點陣和能帶結構

Graphene產生奇特電子特性的原因是其特殊的能帶結構．費米面附近的能帶直接影響材料的性質．研究表明，電子聲子相互作用對能帶結構有顯著的影響，尤其是會顯著降低電子遷移率．因此，研究Graphene材料中電子聲子相互作用對材料電子性質的影響有重要的應用價值．由于電子聲子相互作用，狄拉克點附近的能帶結構不再保持嚴格的線性關系．本文用二級微擾處理電子聲子相互作用，計算電子聲子相互作用對能帶的影響．

1 電聲子作用微擾計算

Graphene元胞中的2個碳原子A和B相對運動，產生極化電場對晶體中傳導電子產生電磁作用．縱光頻聲子(LO)比縱聲頻聲子[11]對傳導電子的作用強得多．因此，本工作主要考慮LO聲子對晶體中載流子能帶的影響．由于電聲子相互作用相對于電子之間的相互作用較弱，計算時電聲子相互作用可以當作微擾處理．

在長波近似下LO聲子的位移場可寫為[11]

(1)

位移場給出的極化電場為

(2)

其中常量F由利頓-薩克斯-特勒關系式給出:

(3)

其中ε∞為高頻介電常數，ε0為靜態(tài)介電常數．用二次量子化表示的電勢為

(4)

在自由電子近似下，電子聲子相互作用的哈密頓量為

(5)

(6)

導帶能量為

εk=|(k-Q)|vf=

(7)

其中vf為費米速度，Q是狄拉克點的波矢．當溫度為0K時，設導帶底部|k〉狀態(tài)上有一個電子，聲子處于真空態(tài)|0〉，沒有電子聲子相互作用時系統的狀態(tài)為

(8)

由于電子與聲子相互作用比較弱，用微擾理論計算Hep對Graphene中狄拉克點附近電子的能量修正為

(9)

它代表電子先發(fā)射q聲子，然后再吸收同一聲子的自能過程，其中求和禁止分母為0的q．根據

(10)

(11)

我們可求得

(12)

因此

(13)

Ek=

Ek=

(14)

其中

狄拉克點附近電子能帶向下移動β，費米速度下降,由vf變?yōu)?1-α)vf．

2 計算與實驗結果比較

式(14)說明電子與LO聲子相互作用使電子能帶下移β， 狄拉克點附近電子的費米速度vf減小為原來的1-α倍．狄拉克點附近能帶發(fā)生彎曲如圖2(a)所示．這個結果與如圖2(b)所示的實驗結果[12]基本一致．實驗結果表明，能帶整體下移0.5 eV，在費米面上出現拐點，斜率變小．

圖2 電聲子相互作用對能帶的修正和Graphene能帶測量結果的對比

Fig.2 Comparision between the correction of the electron-phonon interaction to energy bands and the measurement of graphene’s energy bands

目前還沒有Graphene的高頻介電常數的實驗數據．根據實驗數據可以反推出高頻介電常數等重要參數．

計算結果表明，電子聲子相互作用正確地解釋了Graphene電子能帶在費米面附近偏離線性色散關系的性質．電子聲子相互作用對電子能帶有明顯的影響，引起電子能帶下移，電子費米速度下降．在有限溫度下，電子聲子相互作用的影響還會更顯著．

3 結論

本文研究了電子聲子相互作用對Graphene電子能帶的影響，把電子和LO光頻聲子相互作用當作微擾，用微擾論方法計算了電子聲子相互作用對電子能帶的修正．計算結果表明，電子聲子相互作用導致Graphene電子能帶下移，電子費米速度下降．計算結果和實驗結果基本符合．

致謝作者衷心感謝胡梁賓教授的有益討論．

[1] NOVOSELOV K S, GEIM A K, MOROZOV S V, et al. Electric field effect in atomically thin carbon films[J]. Science, 2004, 306: 666-669.

[2] NOVOSELOV K S, JIANG D, BOOTH T, et al.Two-dimensional electron and hole gases at the surface of graphite[J]. Phys Rev B, 2005, 72: 201401(1-4).

[3] NOVOSELOV K S, GEIM A K, MOROZOV S V, et al. Magnetoelectronic properties in low-dimensional graphene systems[J]. Nature, 2005,438: 197-200.

[4] PERES N M R, GUINEA F, CASTRONETO A H. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon[J]. Phys Rev B, 2006, 73: 125411(1-23).

[5] MEYER J C, GEIM A K, KATSNELSON M I. The structure of suspended graphene sheets[J]. Nature, 2007, 446:60-63.

[6] ZHOU S Y, GWEON G H, GRAF J, et al. First direct observation of Dirac fermions in graphite[J]. Nature Physics, 2006, 2: 595-599.

[7] SLONCZEWSKI J C, WEISS P R. Band structure of graphite[J]. Phys Rev, 1958, 109:272-279.

[8] GEIM A K, NOVOSELOV K S. The rise of graphene[J]. Nature Materials, 2007, 6: 183-191.

[9] ABANIN A, NOVOSELOV K S, LEE P A, et al. Dissipative quantum hall effect in graphene near the Dirac point[J]. Phys Rev Lett, 2007, 98: 196806(1-4).

[10] ZHANG Y, TAN Y W, STORMER H L, et al. Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene[J]. Nature, 2005,438: 201-204.

[11] 李正中. 固體理論[M]. 北京：高等教育出版社，2003：148-150.

[12] BOSTWICK A, OHTA T, SEYLLER T, et al. Quasiparticle dynamics in graphene[J]. Nature Physics, 2007, 3: 36-40.

Keywords： graphene; electron-phonon interaction; energy band

【責任編輯 莊曉瓊】

THECORRECTIONSOFTHEELECTRON-PHONONINTERACTIONTOTHEBANDSTRUCTUREOFGRAPHENE

LONG Mingsheng, CEN Yanjun, LI Ming

(School of Physics and Communication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The influence of the electron-phonon interaction to the band structure of graphene is studied. The interaction between electron and the longitudinal optical phonons is taken to be a perturbation, then the corrections of the interaction to the band structure are calculated using the perturbation theory. The calculation shows that the energy bands shift downwards and the electron fermi velocity decreases. These results are in agreement with the experimental data.

2009-10-23

廣東省自然科學基金資助項目(07005834)

龍明生(1982—)，男，湖南保靖人，華南師范大學2007級碩士研究生，Email：longms@126.com;李銘(1964—)，男，湖北荊州人，博士，華南師范大學副教授，主要研究方向：凝聚態(tài)物理，Email：wliming@scnu.edu.cn.

*通訊作者

1000-5463(2010)02-0055-04

O469

A