劉 睿,雷雨亮,周水興
(1.重慶交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,重慶400074;2.北京海龍公路工程公司,北京102206)
無支架纜索吊裝系統(tǒng)是大跨度拱橋主拱拱圈(肋)及拱上構(gòu)件安裝常用的施工設(shè)備[1-3]。此外,也可用于懸索橋加勁梁的安裝施工[4]。
主纜是纜索吊裝系統(tǒng)最主要的承重軌道。通常一個(gè)構(gòu)件由兩個(gè)吊點(diǎn)同時(shí)起吊,但一直以來有關(guān)雙吊點(diǎn)主纜弧長(zhǎng)、垂度和水平張力等,均按兩吊點(diǎn)的合力作用于吊點(diǎn)中心,采用單吊點(diǎn)公式開展[5]。目前國(guó)內(nèi)對(duì)無支架纜索吊裝系統(tǒng)吊裝節(jié)段的扣索力、預(yù)抬量研究較多,但對(duì)纜索系統(tǒng)本身的研究很少[6-8]。楊勝[9]利用MATLAB數(shù)學(xué)運(yùn)算工具編寫了主纜計(jì)算程序,但主纜垂度和水平張力等仍按單吊點(diǎn)法計(jì)算。文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了雙吊點(diǎn)主纜的相關(guān)公式,但弧長(zhǎng)和垂度公式有誤;在比較單吊點(diǎn)法和雙吊點(diǎn)法計(jì)算誤差時(shí),僅分析了主纜跨徑的變化,而忽略了其他參數(shù)變化對(duì)計(jì)算誤差的影響。
隨著橋梁跨度的不斷增大,對(duì)計(jì)算精度和施工控制要求也在相應(yīng)提高。筆者根據(jù)主纜靜力平衡原理,建立了單跨雙吊點(diǎn)主纜以各吊點(diǎn)位置為分界點(diǎn)的主纜分段曲線方程,推導(dǎo)了相應(yīng)的主纜水平張力和垂度計(jì)算公式,分析了主纜跨徑、纜索自重、雙吊點(diǎn)間距和吊重等因素對(duì)主纜水平張力的影響。結(jié)果表明:按單吊點(diǎn)法或雙吊點(diǎn)法計(jì)算單跨雙吊點(diǎn)主纜水平張力,其差異主要受雙吊點(diǎn)間距與主纜跨徑之比的影響,且主纜水平張力的差異隨雙吊點(diǎn)間距與主纜跨徑之比的減小而減小,當(dāng)兩者之比在0.05以內(nèi)時(shí),用兩種方法計(jì)算得到的水平張力的相對(duì)誤差也在5%以內(nèi),可忽略不計(jì)。
兩端固定于地壟或其他錨固裝置,中間支承于兩塔架的主纜為3跨連續(xù)索。當(dāng)兩邊跨跨度較小時(shí),為簡(jiǎn)化計(jì)算,常忽略其影響,同時(shí)不計(jì)兩塔架位移,視主纜與塔架平滾(或索鞍)的接觸點(diǎn)不會(huì)滑動(dòng),這樣主纜就可以按兩端固定的單跨主纜計(jì)算[5]。圖1為單跨雙吊點(diǎn)主纜計(jì)算簡(jiǎn)圖。
圖1 單跨雙吊點(diǎn)主纜計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of main cable with double-lifts in single span
圖1中:HA為左端塔頂A處主纜的水平張力;VA為左端塔頂A處支點(diǎn)反力;HB為右端于塔頂B處主纜的水平張力;VB為右端塔頂B處的支點(diǎn)反力;β為主纜弦傾角,β=arctan(h/l);g0為主纜自重荷載集度;g為主纜按跨徑均勻分布的自重荷載集度;t為主纜左吊點(diǎn)距左索塔A的水平距離;a為左右兩吊點(diǎn)間距;l為主纜跨度;P為作用于主纜上的集中荷載(P/2表示荷載由兩吊點(diǎn)均勻分擔(dān));h為兩索塔高差。
1)主纜在跨間只承受張力而不承受彎矩[5];2)在主纜跨中各處主纜的水平張力大小相等,HA=HB=Hx=H[5];
3)構(gòu)件吊重由兩個(gè)吊點(diǎn)平均分擔(dān)。
1.2.1 左、右索塔處支反力
左索塔(A點(diǎn))支反力:
式中:HA為距A點(diǎn)水平距離為t處(左吊點(diǎn))的主纜水平張力;其余參數(shù)含義同上。
右索塔(B點(diǎn))支反力:
1.2.2 主纜曲線方程
作用有雙吊點(diǎn)的主纜(圖1),其線形由左塔頂(A點(diǎn))至左吊點(diǎn)(C點(diǎn))、左吊點(diǎn)至右吊點(diǎn)(D點(diǎn))、右吊點(diǎn)至右塔頂(B點(diǎn))3個(gè)分段曲線組成。主纜弧長(zhǎng)可通過其曲線方程求得。
以左邊塔頂A點(diǎn)作為整個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),沿HA方向作為x軸,沿VA方向作為y軸,并設(shè)點(diǎn)C距點(diǎn)A的水平距離為t。將主纜曲線從A點(diǎn)至C點(diǎn)分為第1段,從C點(diǎn)至D點(diǎn)分為第2段,其坐標(biāo)表示為從D點(diǎn)到點(diǎn)B分為第3段,其坐標(biāo)表示分別為:x∈ (0,t) 、x∈(t,t+a) 、x∈(t+a,l) 。
對(duì)于A-C段主纜曲線,可建立圖2所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。
圖2 主纜A-C段計(jì)算示意Fig.2 Calculation diagram of segmentA-Cof main cable
圖2中:Hx為A-C段上距A點(diǎn)水平距離為x處主纜水平張力;Vx為A-C段上距A點(diǎn)水平距離為x處主纜豎向分力;其于參數(shù)含義同圖1。
對(duì)A點(diǎn)取矩,由∑MA=0
由:∑V=0,得:Vx=VA-gx
可得出A-C段主纜的曲線方程:
式中:據(jù)基本假定2),因HA=HB=Hx=H,為此以后各式中Hx均表示為H。
同理,參照?qǐng)D3、圖4,可得C-D段和D-B段弧的曲線方程。
圖3 主纜C-D段計(jì)算示意Fig.3 Calculation diagram of segmentC-Dof main cable
圖4 主纜D-B段x∈(t+a,l)計(jì)算示意Fig.4 Calculation diagram of segmentD-B x∈ (t+a,l)of main cable
將3個(gè)曲線方程聯(lián)立,即為主纜曲線的分段方程,如式(4):
1.2.3 主纜弧長(zhǎng)S的計(jì)算
將上式展開成級(jí)數(shù),取前兩項(xiàng)得:
將式(5)因式分解、合并同類項(xiàng)得單跨雙吊點(diǎn)主纜的弧長(zhǎng)計(jì)算式:
文獻(xiàn)[10]由于弧長(zhǎng)公式推導(dǎo)有誤,因此,退化計(jì)算后得不到與式(7)相同結(jié)果,導(dǎo)致后續(xù)水平張力方程和垂度的計(jì)算式也相應(yīng)有誤。
第1狀態(tài):設(shè)載有吊重的跑車Pmax(Pmax為最大吊重和跑車及起重設(shè)備的總重)位于主索跨度的中間以此作為變化前的標(biāo)準(zhǔn)平衡狀態(tài)。第2狀態(tài):設(shè)荷載Px≤Pmax,荷載左吊點(diǎn)位于距A支點(diǎn)距離為t處,與此狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的主索曲線長(zhǎng)度為St,支座A處主纜張力為Tt,水平張力為Ht。
在上述2個(gè)平衡狀態(tài)中,主索曲線長(zhǎng)度的改變,是由于主索在不同荷載位置作用下張力變化而引起的彈性變形ΔS所產(chǎn)生,其值可用式(8)計(jì)算:[1]
將式(6)代入式(8),可得雙吊點(diǎn)纜索水平張力普遍方程:
式中:Hmax為最大吊重位于跨中時(shí)主纜的水平張力;G為主纜總重,G=gl;E為主纜彈性模量;F為主纜截面積;P為作用于主纜上的任意集中荷載;P≤Pmax;其余參數(shù)含義同上。
1.4.1 主纜安裝時(shí)的張力方程
式中:H0為主纜的安裝水平張力;P0為跑車等空載時(shí)的重量;其余參數(shù)含義同上。1.4.2 左、右吊點(diǎn)垂度普遍公式
左吊點(diǎn)垂度計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖5。
圖5 左吊點(diǎn)垂度計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.5 Calculation diagram of sag in leftlift
圖5中:Ht為左吊點(diǎn)處主纜的水平張力;Vt為左吊點(diǎn)處主纜的豎向分力。
對(duì)x=t位置取矩,由∑Mt=0,即:
可得左吊點(diǎn)垂度計(jì)算式:
同理,據(jù)右吊點(diǎn)垂度計(jì)算簡(jiǎn)圖(圖6),可得右吊點(diǎn)的垂度計(jì)算式。
圖6 右吊點(diǎn)垂度計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.6 Calculation diagram of sag in rightlift
圖6中:Ht'為右吊點(diǎn)處主纜的水平張力;Vt'為右吊點(diǎn)處主纜的豎向分力。
右吊點(diǎn)垂度計(jì)算式:
式中:t'為右吊點(diǎn)距支點(diǎn)A的水平距離,t'=t+a;其余參數(shù)含義同上。
1.4.3 安裝垂度計(jì)算式
當(dāng)安裝吊重P位于跨中,將0代入左吊點(diǎn)垂度計(jì)算公式,或?qū)⒋胗业觞c(diǎn)垂度計(jì)算公式均可求得雙吊點(diǎn)的安裝垂度計(jì)算公式:
1.4.4 吊重最大時(shí)主纜垂度計(jì)算式
主纜最大垂度計(jì)算公式:
因主纜的相關(guān)計(jì)算都是基于主纜最大水平張力開展后續(xù)計(jì)算,故只對(duì)雙吊點(diǎn)纜索按單吊點(diǎn)法和雙吊點(diǎn)法計(jì)算的最大水平張力進(jìn)行比較。
主纜按單吊點(diǎn)法計(jì)算最大垂度的公式如式(15):
式中:fmax為主纜的最大垂度;其余參數(shù)含義同上。
對(duì)比式(14)可知,式(15)是當(dāng)a=0時(shí)的特例。
記:雙吊點(diǎn)主纜利用單吊點(diǎn)法與雙吊點(diǎn)法計(jì)算水平張力的相對(duì)誤差為δ,計(jì)算如式(16):
令:δ≤0.05(工程容許誤差),則式(17)可改寫成以k為自變量的不等式方程:
求解該不等式,得到k>0的k值范圍為:
當(dāng)k≤0.05的時(shí)候,δ<0.05,即:雙吊點(diǎn)主纜計(jì)算可選用單吊點(diǎn)法公式滿足工程誤差要求。
對(duì)式(19)的右邊進(jìn)行計(jì)算:
綜上分析,雙吊點(diǎn)纜索在滿足以下2個(gè)推論之一時(shí),采用單吊點(diǎn)法公式計(jì)算均滿足工程誤差要求。
推論1:當(dāng)k<0.05時(shí),δ<0.05。
推論2:當(dāng)0.05≤k≤ μ時(shí),δ≤0.05,(μ=
主纜跨徑l=217.04m,兩吊點(diǎn)間距a=13m,兩岸高差h=4m,E=75 600 MPa,拱肋最大凈重P1=400 kN,吊具、配重及施工荷載P0=50 kN,Pmax=P1+P0=450 kN,主纜單位自重集度g0=0.44 kN/m,主纜弦傾角 β =0.012(弧度)。
因此:
因k>0.05且k>μ,不滿足2個(gè)推論的要求。
不宜采用單吊點(diǎn)公式計(jì)算。下面用單、雙吊點(diǎn)法分
表1 算例單吊點(diǎn)法與雙吊點(diǎn)法最大水平張力計(jì)算誤差Tab.1 Calculation tolerance of maximal horizontal tension with the method of singelift and doublelifts in a certain project
主纜自重和吊點(diǎn)間距不變的情況下,在不同主纜跨度和不同吊重下最大水平張力的相對(duì)誤差。計(jì)算結(jié)果如表2~表4。
表2 當(dāng)Pmax=450 kN時(shí)k、θ變化對(duì)δ的影響Tab.2 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 450 kN
表3 當(dāng)Pmaxis 1 000 kN時(shí)k、θ變化對(duì)δ的影響Tab.3 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 000 kN
表4 當(dāng)Pmaxis 1 500 kN時(shí)k、θ變化對(duì)δ的影響Tab.4 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 500 kN
通過表2~表4數(shù)據(jù)證明:本文的2個(gè)推論是正確的。
根據(jù)無支架纜索吊裝系統(tǒng)單跨雙吊點(diǎn)主纜受力及曲線形態(tài),給出了主纜分段曲線弧長(zhǎng)表達(dá)式,推導(dǎo)了主纜垂度、水平張力等計(jì)算公式。分析了主纜自重、跨徑、吊點(diǎn)間距、最大吊重等因素對(duì)主纜水平張拉的影響,為今后主纜計(jì)算提供理論依據(jù),且可提高計(jì)算精度。
由于主纜在自然環(huán)境中受到溫度變化的影響會(huì)發(fā)生伸縮,但本文公式中未計(jì)入溫差影響,對(duì)此,讀者可參考文獻(xiàn)[5],在此不再贅述。
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