張大朋，白 勇，章浩燕，朱克強(qiáng)

(1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058；2.寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，寧波 315211)

有纜ROV(水下機(jī)器人)可以安全有效地到達(dá)海洋深水區(qū)域進(jìn)行作業(yè)，是開(kāi)展深?？碧降闹匾ぞ?。本文結(jié)合作者之前的研究成果[1]，對(duì)纜索三維幾何形態(tài)模型進(jìn)行了研究。所用纜索三維動(dòng)態(tài)偏微分方程模型為Albow模型[2]，通過(guò)對(duì)纜索動(dòng)態(tài)偏微分方程在時(shí)間和空間上離散化處理，將無(wú)法確定纜索單元長(zhǎng)度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為纜索單元可確定問(wèn)題，并采用有限差分法進(jìn)行了求解，得到航行器直航狀態(tài)下纜索的幾何形態(tài)結(jié)果，以及回轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)纜索的幾何形態(tài)結(jié)果。通過(guò)將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果基本在允許誤差范圍內(nèi)，說(shuō)明建立纜索動(dòng)態(tài)模型對(duì)航行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的。這種計(jì)算模型不但可以避免聲納監(jiān)測(cè)橫搖速度及縱蕩速度的盲區(qū)問(wèn)題，而且可以較為精確地預(yù)測(cè)航行器的運(yùn)動(dòng)[3]。

1 纜索的三維模型

1.1 三維模型坐標(biāo)系建立

如圖1所示，建立三套坐標(biāo)系，即地面坐標(biāo)系(i,j,k)，纜索局部坐標(biāo)系(τ,n,b)，航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(iv,jv,kv)。

航行器的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的關(guān)系可表示為如下

(1)

式中：(φ，θ，ψ)分別為水下航行器的橫搖角、縱搖角和艏搖角。

纜索的局部坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用下式表示

(2)

纜索局部坐標(biāo)系與航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系之間的關(guān)系為

圖1 三維模型坐標(biāo)示意簡(jiǎn)圖Fig.1 The schematic of the three-dimensional model

(3)

式中：(α，β)為如果讓整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系重合，由整體坐標(biāo)系到纜索局部坐標(biāo)系需要繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度。

1.2 纜索三維模型動(dòng)力方程

y(s,t)=[TVτVnVbαβ]T

(4)

方程(4)代表纜索的幾何形態(tài)，其中，t表示水下航行器運(yùn)動(dòng)時(shí)間，s表示弧長(zhǎng)，T表示纜索內(nèi)部張力，Vc=[VτVnVb]T表示纜索某點(diǎn)處的速度向量。因此，纜索的動(dòng)態(tài)方程可以用以下偏微分方程表示

(5)

式中：ρ為流體密度，kg/m3；m是單位長(zhǎng)度纜索的質(zhì)量，kg/m；A是纜索未伸長(zhǎng)前的橫截面積，m2；m1為單位長(zhǎng)度纜索實(shí)際質(zhì)量，m1=m+ρA，kg/m；wc為水中纜索單位長(zhǎng)度的重量，N/m；e為1/EA；ct為切向拖曳力系數(shù)；cn為法向拖曳力系數(shù)；d為纜索拉伸后的直徑，m；J為局部坐標(biāo)系下流體的順勢(shì)速度，J=[Jτ，Jn，Jb]T，m/s；U為纜索的相對(duì)速度，U=[UτUnUb]T，U=Vc-J，m/s。

1.3 纜索三維模型動(dòng)力方程邊界條件

纜索與水下航行器連接端的三個(gè)邊界條件

Vc(0，t)=WT(α,β)R(φθψ)(V+Ω×rc)

(6)

由于岸上卷筒對(duì)纜索的作用力主要是切向力，因此卷筒與纜索連接端運(yùn)動(dòng)速度的法線方向和副法線方向的速度分量均為零，因此第四及第五個(gè)邊界條件如下所示

Vn(St，t)=0Vb(St，t)=0

(7)

卷筒與纜索連接端的第六個(gè)邊界條件表示為

(8)

1.4 纜索對(duì)航行器的作用力

初始時(shí)刻，拖點(diǎn)處航行器所受纜索的作用力及力矩為T(0,t),Γf(0,t)。航行器所受纜索作用力，在航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中可以表示如下

(9)

拖點(diǎn)處航行器受纜索的作用力矩，在航行器動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系中，纜索拖點(diǎn)處由纜索引起的力矩可以表示為

(10)

1.5 纜索三維模型求解過(guò)程

求解纜索的動(dòng)態(tài)偏微分方程的數(shù)值方法有很多，由于本系統(tǒng)中纜索長(zhǎng)度并非定值，而是受到滾筒和航行器的控制，隨著航行器的移動(dòng)，纜索的浸水量在不斷變大。本文主要采用有限差分法進(jìn)行求解，最后通過(guò)將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其他算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來(lái)說(shuō)明有限差分法對(duì)求解纜索動(dòng)態(tài)偏微分方程的優(yōu)勢(shì)。

首先假設(shè)纜索的浸水初始長(zhǎng)度為0，Sτ表示τ時(shí)刻纜索的長(zhǎng)度。纜索的浸水總長(zhǎng)的求解方程可以表示如下

(11)

t=k+1時(shí)刻，即將入水的纜索單元的近似動(dòng)態(tài)偏微分方程，下面對(duì)纜索偏微分方程進(jìn)行有限差分求解。

邊界條件

Vc(S0，tk+1)=WT(α(S0，tk+1)，β(S0，tk+1))R(φ,θ,ψ)(V+Ω×rc)

(12)

Vn(Sk+1,tk+1)=0

(13)

Vb(Sk+1,tk+1)=0

(14)

(15)

總結(jié)以上求解過(guò)程可知，運(yùn)用有限差分法通過(guò)Matlab求解纜索三維動(dòng)態(tài)方程的步驟總結(jié)如下：

(1)設(shè)定步長(zhǎng)及計(jì)算總時(shí)間。

(2)設(shè)定計(jì)算的初始值，本文中初始時(shí)刻時(shí)，浸水纜索的長(zhǎng)度為0，此刻，由于卷筒出纜端還未出纜，因此初始時(shí)刻卷筒出纜端與航行器連接端一致。由此，將代入纜索的初始形態(tài)即中求解。

(3)設(shè)定邊界條件，由于本文中所用纜索有兩個(gè)連接端，即纜索與水下航行器尾端的連接處(拖點(diǎn))，以及纜索與岸上卷筒的連接端。因此，在求邊界條件時(shí)，兩個(gè)連接端的邊界條件都要考慮。

(4)確定每段纜索元的長(zhǎng)度。

2 纜索三維模型案例分析

2.1 直航案例

本案例中所述纜索為輕質(zhì)等浮力纜索，首端連接在航行器的尾部(作為拖點(diǎn))，拖點(diǎn)在航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中表示為rc=(-0.5，0，0)；尾端與卷筒相連(作為放纜端)，卷筒直徑約為0.2 m，并假設(shè)卷筒放纜端保持松弛狀態(tài)，即此處纜索張力為零，那么在放纜處，卷筒與纜索的滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生的力矩為Γf=0。纜索的相關(guān)參數(shù)及流體的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 直航案例中纜索與流體參數(shù)表Tab.1 Parameters of cable and seawater

航行器前進(jìn)過(guò)程中直航運(yùn)動(dòng)

u=1 ，v=w=0，p=q=r=0及θ=φ=ψ=0

(16)

拖點(diǎn)處纜索張力的大小隨St變化而變化，進(jìn)一步分析，可以從浸水纜索總長(zhǎng)得到關(guān)系式St=t。因此，拖點(diǎn)處纜索張力求解方程式可以近似表示為

(17)

2-a 直航情況下纜索內(nèi)部張力變化圖2-b 直航情況下纜索幾何形態(tài)圖圖2 直航時(shí)的響應(yīng)結(jié)果Fig.2 The dynamic response of the model during direct sailing

由圖2-a可知，在初始時(shí)刻，航行器拖點(diǎn)處的纜索張力為0，且張力大小隨著航行器運(yùn)動(dòng)時(shí)間推移呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。據(jù)此可推斷，航行器的驅(qū)動(dòng)力在直航過(guò)程中，需要不斷增大，否則無(wú)法保持航行器勻速直航運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。從張力的增長(zhǎng)方式上看，直航情況下，拖點(diǎn)處纜索的張力隨時(shí)間推移線性增長(zhǎng)，可以據(jù)此來(lái)求得一段時(shí)間內(nèi)纜索內(nèi)部最大張力，從而為拖曳過(guò)程中航行器直航時(shí)間、距離及升沉限制提供依據(jù)。同時(shí)，在設(shè)計(jì)有纜ROV系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)充分考慮纜索對(duì)航行器的動(dòng)態(tài)影響，并根據(jù)直航過(guò)程中纜索的幾何形態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)航行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而指導(dǎo)航行器作業(yè)。

觀察圖2-b可知，直航情況下，纜索的幾何形態(tài)y(Sk+1,tk+1)在X-Y-Z地面坐標(biāo)系中近乎呈一條直線。這說(shuō)明，在航行器以某一確定速度直航時(shí)，可保證纜索水下構(gòu)型不發(fā)生彎扭及纏繞，而呈現(xiàn)近乎直線的狀態(tài)。

表2 回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.2 Parameters of the turning process

2.2 回轉(zhuǎn)案例

為了求得航行器回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，纜索的幾何形態(tài)。其中，纜索的具體參數(shù)、計(jì)算時(shí)所用時(shí)間步長(zhǎng)及基本假設(shè)與直航情況相同。航行器回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表2所示。

圖3 回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)纜索形態(tài)俯視圖Fig.3 The configuration of the cable during turning process

數(shù)據(jù)來(lái)源回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始沉深(m)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)沉深(m)絕對(duì)差值(m)最低沉深(m)實(shí)驗(yàn)值10.0510.137.452.49有限差分模型11.9711.148.233.21

表3中的實(shí)驗(yàn)值是將實(shí)驗(yàn)測(cè)得的一系列數(shù)據(jù)求均值得到的。從表3與圖3中實(shí)驗(yàn)值與模擬值的數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，運(yùn)用有限差分模型得到的開(kāi)始沉深、終點(diǎn)沉深及最低沉深與實(shí)驗(yàn)值的誤差較小，均在有效范圍之內(nèi)。由此可見(jiàn)，建立纜索回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模型來(lái)預(yù)測(cè)航行器的運(yùn)動(dòng)，是有效的，避免了實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)過(guò)程中對(duì)橫搖及垂蕩速度監(jiān)測(cè)的盲區(qū)[4-6]。這里需要指出的是，由于升沉運(yùn)動(dòng)的方向使得其在升沉方向的附連水質(zhì)量較大，這就導(dǎo)致其實(shí)驗(yàn)時(shí)受到的水的阻尼力較大，因此也就導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)值和有限差分模型計(jì)算出的最低沉深差別較大，除此之外，水的黏性也是造成沉深的實(shí)驗(yàn)值和仿真值有一定差異的一個(gè)原因。如果對(duì)實(shí)驗(yàn)中水流的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整的話，可進(jìn)一步減小誤差。

3 結(jié)論

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可確定浸水纜索的幾何形態(tài)[7-14]， 這對(duì)實(shí)際的工程實(shí)踐有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。仿真結(jié)果告訴我們：

(1)在設(shè)計(jì)有纜ROV系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)充分考慮纜索對(duì)航行器的動(dòng)態(tài)影響，并根據(jù)直航過(guò)程中纜索的幾何形態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)航行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而指導(dǎo)航行器作業(yè)。

(2)在航行器以某一確定速度直航時(shí)，可保證纜索水下構(gòu)型不發(fā)生彎扭及纏繞，而呈現(xiàn)近乎直線的狀態(tài)。

(3)由于浸水纜索的長(zhǎng)度隨著時(shí)間推移在不斷增長(zhǎng)，那么纜索單元的數(shù)目也將隨著拖曳時(shí)間的推移在不斷增多，所以無(wú)法單純地將纜索切分為定長(zhǎng)度定數(shù)目的纜索單元。然而，目前由于有限差分法只能在確定每個(gè)纜索單元的長(zhǎng)度后才能進(jìn)行求解，因此，在采用有限差分法時(shí)，需要首先確定纜索元的長(zhǎng)度。這也是本文的不足，后續(xù)將對(duì)本研究方法進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。