◆陳舟帆

(汕頭高級(jí)技工學(xué)校)

淺談函數(shù)奇偶性的教學(xué)體會(huì)

◆陳舟帆

(汕頭高級(jí)技工學(xué)校)

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。本文主要探討函數(shù)的奇偶性的定義、性質(zhì),函數(shù)按奇偶性的分類(lèi),奇偶函數(shù)的圖像特征以及幾個(gè)常見(jiàn)的判別函數(shù)的奇偶性的錯(cuò)例分析。

奇函數(shù) 偶函數(shù) 函數(shù)奇偶性

一、深刻理解函數(shù)奇偶性的定義

函數(shù)的奇偶性的定義如下:

(1)一般地,如果對(duì)于函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)的任一個(gè) x,都有 f(-x)=f(x),那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù)。

(2)一般地,如果對(duì)于函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)的任一個(gè) x,都有 f(-x)=-f(x),那么函數(shù) f(x)叫做奇函數(shù)。

學(xué)習(xí)這個(gè)定義要緊緊抓住兩個(gè)要點(diǎn):(1)函數(shù)的定義中的 x是任一個(gè)值。(2)都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))

在講課中,我特別注意強(qiáng)調(diào) x是任一個(gè)而不是某一個(gè),而不少同學(xué)經(jīng)常要用具體的某一個(gè)值來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性,正是對(duì)定義缺乏深刻的理解。而定義中的都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x)),表示對(duì)于任意的 x都成立,即上面的式子是一個(gè)恒等式,而不是對(duì)于部分 x成立。

應(yīng)該特別注意的是,僅僅簡(jiǎn)單地記住這個(gè)定義的兩個(gè)要點(diǎn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,因?yàn)?函數(shù)的奇偶性的定義包含著更深刻的內(nèi)涵:

(一)定義中涉及的求 f(x),f(-x),這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是:f(x)與 f(-x)必須同時(shí)有意義。因此,可以得出下面的結(jié)論,函數(shù) f(x)是奇函數(shù) (或偶函數(shù))的必要條件是函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集 (原點(diǎn)可在也可不在定義域內(nèi))。下面,讓我們總結(jié)一下常見(jiàn)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)的數(shù)集。

在講課中,我通過(guò)對(duì)常見(jiàn)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)的數(shù)集進(jìn)行總結(jié),使同學(xué)們很快就能根據(jù)數(shù)集的形式來(lái)判斷函數(shù)的定義域是否是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集,從而進(jìn)一步判斷出函數(shù)的奇偶性。

(二)函數(shù)的奇偶性是整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì),僅在定義域內(nèi)的一個(gè)真子集中討論函數(shù)的奇偶性是沒(méi)有意義的。這一點(diǎn)和研究函數(shù)的單調(diào)性的方法不同。

因此,只有深刻地理解函數(shù)的奇偶性的定義的內(nèi)涵,才能正確地判斷函數(shù)的奇偶性。

二、關(guān)于函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要性質(zhì)

根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義,我們可以系統(tǒng)地總結(jié)出函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)重要性質(zhì):

(1)對(duì)稱(chēng)性:奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

(2)整體性:函數(shù)的奇偶性是整體性質(zhì),對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè) x都必須成立。

(3)可逆性:①f(-x)=f(x)? f(x)是奇函數(shù)

②f(-x)=-f(x)?f(x)是偶函數(shù)

(4)等價(jià)性:①f(-x)=f(x)? f(-x)-f(x)=0

②f(-x)=-f(-x)?f(-x)+f(x)=0

(5)圖像的對(duì)稱(chēng)性:奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)。

三、如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性

根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性有兩個(gè)步驟。首先應(yīng)判斷函數(shù)的定義域是否是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集,其次是驗(yàn)證 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))對(duì)于定義域中的任意 x是否成立。兩個(gè)條件中尤以第一個(gè)條件最為重要,因?yàn)槿绻荒軡M(mǎn)足第一個(gè)條件,即使第二個(gè)條件成立也不能判斷函數(shù)的奇偶性。不少同學(xué)在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)經(jīng)常只依據(jù)第二個(gè)條件是否成立來(lái)進(jìn)行判斷,因而產(chǎn)生了錯(cuò)誤。

根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性的兩個(gè)條件,我們可以把函數(shù)按奇偶性分為:(1)奇函數(shù);(2)偶函數(shù);(3)非奇非偶函數(shù);(4)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)四種類(lèi)型。下面,我們根據(jù)各種題型舉行舉例分析。

上述幾個(gè)例子都是根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性的兩個(gè)步驟來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性的,它屬于比較簡(jiǎn)單的題目,屬于基本的題型。但有的題目較復(fù)雜,例如:

由上面的例子可知,若函數(shù)的表達(dá)式較復(fù)雜時(shí),一定要對(duì)式子的特點(diǎn)進(jìn)行分析才得出恒等式是否成立的結(jié)論,必要時(shí)應(yīng)對(duì)表達(dá)式先進(jìn)行化簡(jiǎn),再根據(jù)定義進(jìn)行判斷。

另外,判斷函數(shù)的奇偶性也可以根據(jù)它的圖像的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷。如果函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)一定是奇函數(shù),如果函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)一定是偶函數(shù)。反之,若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)或 y軸不對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

四、幾個(gè)判斷函數(shù)奇偶性例子的錯(cuò)解分析

分析:上述解題結(jié)論正確,過(guò)程錯(cuò)誤。因?yàn)?f(x)與 f(-x)不能同時(shí)有意義。因此,正確的解法是,只有判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),就可以直接得出結(jié)論,而不用驗(yàn)證 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))是否成立。

分析:上述解題過(guò)程是錯(cuò)誤的。很明顯,解題過(guò)程中沒(méi)有考慮 f(x)的定義域是否是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集。實(shí)際上,f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)的數(shù)集,因此,f(x)=x2是非奇非偶函數(shù)。這道題也可以從它圖像的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷。

總之,只要深刻地理解函數(shù)的奇偶性的定義,那么,判斷函數(shù)的奇偶性就不難了。

[1]陸利標(biāo).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).奇偶性的誤區(qū)——忽視定義域.2007.

[2]韓忠月.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).高一數(shù)學(xué)測(cè)試題,2007.

[3]全國(guó)中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校通用教材.