田瑞蘭 楊新偉 孫海珍

1.石家莊鐵道學(xué)院數(shù)理系 050043

2.石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院交通系 050041

淺談《復(fù)變函數(shù)》在力學(xué)專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用

田瑞蘭1楊新偉2孫海珍1

1.石家莊鐵道學(xué)院數(shù)理系 050043

2.石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院交通系 050041

針對(duì)學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》的興趣和積極主動(dòng)性的現(xiàn)象，結(jié)合復(fù)變函數(shù)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和非線性振動(dòng)研究的需要，簡(jiǎn)要論述了復(fù)變函數(shù)在力學(xué)專(zhuān)業(yè)——非線性振動(dòng)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，提出了一個(gè)提高教學(xué)效果的方法：在《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)過(guò)程中, 不僅要清晰地向?qū)W生講述該學(xué)科的基本知識(shí), 而且應(yīng)該幫助學(xué)生建立起該學(xué)科與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的聯(lián)系。

復(fù)變函數(shù)；留數(shù)；非線性振動(dòng)；微分方程 Melnikov函數(shù)

complex function； residue；nonlinear vibration；differential equation；Melnikov function

《復(fù)變函數(shù)》[1]是一門(mén)古老而富有生命力的學(xué)科。它不僅是實(shí)變函數(shù)微積分的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具， 已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域。例如振動(dòng)力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、理論物理以及自動(dòng)控制理論等研究中，有很多復(fù)雜的計(jì)算就是以復(fù)變函數(shù)為工具來(lái)解決的。但現(xiàn)行的有關(guān)教材對(duì)這個(gè)方面涉及較少。在復(fù)變函數(shù)教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：不少學(xué)生在學(xué)習(xí)完《復(fù)變函數(shù)》后仍存在困惑，會(huì)產(chǎn)生諸如有什么應(yīng)用之類(lèi)的問(wèn)題。因此有必要對(duì)此做一個(gè)較為深入的探討。

在力學(xué)專(zhuān)業(yè)——非線性振動(dòng)學(xué)習(xí)中，對(duì)描述非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程化簡(jiǎn)[3-5]，利用Melnikov方法[5-6]確定混沌運(yùn)動(dòng)的門(mén)檻值等內(nèi)容都要應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、留數(shù)等方法進(jìn)行處理。因此《復(fù)變函數(shù)》這門(mén)課程對(duì)該專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)起著重要作用，下面僅就幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行分析。

1、化簡(jiǎn)非線性系統(tǒng)的微分方程

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中，有許多非線性振動(dòng)問(wèn)題都可用微分方程來(lái)描述，例如寬槽雙振頭電磁振動(dòng)給料機(jī)的振動(dòng)、實(shí)現(xiàn)電子閉環(huán)控制的電磁振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)等。為了研究非線性系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為，通常需要利用一些方法(平均法、KBM法、多尺度法等)求解該模型，得到動(dòng)力系統(tǒng)的平均方程。如果平均方程過(guò)于復(fù)雜，就需要對(duì)其進(jìn)一步化簡(jiǎn)。

考慮如下的立方非線性系統(tǒng)的平均方程

從以上的分析過(guò)程與文獻(xiàn)[4]分析過(guò)程比較，可以看出前者不但涉及的計(jì)算量要小得多，而且不需要經(jīng)過(guò)任何矩陣運(yùn)算過(guò)程，所以此方法更有利于實(shí)際應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)程序化。

2、簡(jiǎn)化積分的計(jì)算

研究非線性振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，經(jīng)常利用Melnikov方法確定混沌運(yùn)動(dòng)的門(mén)檻值，即度量同（異）宿軌道受擾動(dòng)分裂后穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形距離。因此，需要計(jì)算復(fù)雜的廣義積分，給研究帶來(lái)了很大困難。利用留數(shù)定理可以計(jì)算一些廣義積分，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

考慮振動(dòng)方程

3、結(jié)論

復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的解析工具, 而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域，特別是在非線性振動(dòng)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用。本文首先分析了復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程化簡(jiǎn)中的應(yīng)用；其次分析了留數(shù)定理在計(jì)算非線性振動(dòng)發(fā)生混沌門(mén)檻值中的應(yīng)用。因此，學(xué)生想要學(xué)好力學(xué)專(zhuān)業(yè)中振動(dòng)方面的專(zhuān)業(yè)課，《復(fù)變函數(shù)》課程顯然是必不可少的。這就要求老師在《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)過(guò)程中, 不僅要清晰地向?qū)W生講述該學(xué)科的基本知識(shí), 而且還應(yīng)該幫助學(xué)生建立起該學(xué)科與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的聯(lián)系, 使學(xué)生破疑解難，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

[1]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室,第4版.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社. 2003；145-185

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M],第2版.北京：高等教育出版社.1993；216-267

[3]王洪禮, 張琪昌. 非線性動(dòng)力學(xué)理論及應(yīng)用[M].天津: 天津科學(xué)技術(shù)出版社. 2002；12-69

[4]張琪昌. Hopf分叉理論及其在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中的應(yīng)用: [博士學(xué)位論文][M].天津:天津大學(xué).1991；15-37

[5]高國(guó)生, 楊紹普, 陳恩利等.一類(lèi)非線性磁流變系統(tǒng)局部分岔特性研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào).2004，36(5)：564-568

[6]張琪昌, 田瑞蘭. 一類(lèi)機(jī)電耦合非線性動(dòng)力系統(tǒng)的余維2動(dòng)態(tài)分岔[J].工程力學(xué).2009，26(1)：216-220

A preliminary study on the application of complex function on the research of nonlinear vibration

Tian Ruilan1Yang Xinwei2Sun Haizhen1

1Centre for Nonlinear Dynamics Research, Shijiazhang Railway Institute, Shijiazhuang 050043, China. 2Shijiazhuang Institute of Railway Technology, Shijiazhuang 050041, China

Aiming at the appearance of low initiative of students on learning complex function and combining teaching experience with the research of nonlinear vibration, the application of complex function on research of nonlinear vibration is discussed. A new method for improving the teaching effect is put forward. During the course of teaching, not only the elementary knowledge should be described clearly, but also the relation between complex function and major of students is founded.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872136), 河北省教育廳基金資助項(xiàng)目(2009470)

田瑞蘭，女， 1977年2月生, 山東汶上人，漢族。博士，研究方向?yàn)榉蔷€性分析。職稱(chēng)：講師。