王繼紅，何中全

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009)

一類廣義集值混合隱似變分不等式的迭代算法

王繼紅，何中全?

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009)

在Banach空間中，運(yùn)用輔助變分原理技巧，研究了一類廣義集值混合隱似變分不等式的迭代算法，并且在局部松弛Lipschitz連續(xù)的條件下，證明了該迭代序列的強(qiáng)收斂性定理．

廣義集值混合隱似變分不等式；集值映射；松弛Lipschitz連續(xù)

近年來，變分不等式理論已成為研究線性與非線性問題的有效工具，它為我們研究流體力學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、管理科學(xué)等領(lǐng)域中的問題提供了一個(gè)簡單、自然和統(tǒng)一的框架．對(duì)變分不等式理論的研究有許多方法，如投影技術(shù)、輔助變分原理、Wiene-Hopf方程技巧等．已熟知，投影方法是最有效的數(shù)值方法之一，但它不能用于研究一般混合型變分不等式問題．因此，許多學(xué)者就去發(fā)展輔助變分原理技巧來研究各種變分不等式問題的逼近解[1-7]．例如，文獻(xiàn)[6]研究了一類廣義混合隱擬變分不等式解的存在性及迭代算法，文獻(xiàn)[7]研究了一類集值非線性混合變分包含問題的逼近解．本文運(yùn)用輔助變分原理技巧，在Banach空間中，研究了一類廣義集值混合隱似變分不等式的迭代算法，并在局部松弛Lipschitz連續(xù)的條件下證明了該迭代序列的強(qiáng)收斂性定理．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E為Banach空間，E?為其共軛空間，‖?‖表示E中的范數(shù)，〈?,?〉表示E與E?中元素的配對(duì)，C( E?)表示E?中的一切非空有界閉子集族．設(shè)T, A, S: E→C( E?)是集值映射，N: E?× E?×E?→E?，g: E→E，η,h: E×E→R是單值映射．考慮如下的廣義集值混合隱似變分不等式問題：

求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，使得下面的不等式恒成立：

其中h(?,?):E×E→R 滿足下面的性質(zhì)：

i）h(?,?)關(guān)于第一變?cè)蔷€性的；

ii）h(?,?)關(guān)于第二變?cè)峭沟模?/p>

問題（1）包含了以下一些特殊情形：

1）當(dāng)N( u, v, s)=N( u, v)+f?(s)，其中f?(s)∈E?，且g為恒等映射時(shí)，問題（1）退化為求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，滿足：

該問題在文獻(xiàn)[3]中討論過．

2）當(dāng)N( u, v, s)=p( u)?(f( v)?q( s))，且g為恒等映射時(shí)，問題（1）退化為求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，滿足：

該問題在文獻(xiàn)[8]中討論過．

3）當(dāng)N( u,?,?)=Tu, T 為單值映射，h( x, y)是E的指示函數(shù)，即

且g為恒等映射，η(y, x)=y?x 時(shí)，問題（1）退化為求x∈E，使得〈Tx, y?x〉≥0,?y∈E．這是經(jīng)典變分不等式問題．

總之，適當(dāng)選取N,η,g, h，就可以獲得許多新的與已知變分作為特例的變分不等式問題．

定義1[3]設(shè)T: E→C( E?)是集值映射．

1）稱T是松弛Lipschitz連續(xù)的，如果存在λ＞0使得

2）稱T是η-松弛Lipschitz連續(xù)的，如果存在δ＞0，使得

定義2 設(shè)T: E→C( E?)是集值映射，N: E?×E?×E?→E?是單值映射，映射N在第一變?cè)P(guān)于T是η-局部松弛Lipschitz連續(xù)的，如果存在σ＞0使得

同理可定義N在第二、第三變?cè)謩e關(guān)于A、S是η-局部松弛Lipschitz連續(xù)的．

定義3[4]T: E→C( E?)是集值映射，稱T是σ1-g-Lipschitz連續(xù)的，若存在σ1＞0，使得

其中H(?,?)是C( E?)上的Hausdorff度量．

為獲得結(jié)果，需要如下的假設(shè)：

假設(shè)1 對(duì)單值映射N: E?×E?×E?→E?,η:E×E→E 滿足：

3）η(u, v)=?η(v, u),?u, v∈E．

2 輔助問題及算法

針對(duì)問題（1），考慮如下輔助變分不等式問題Q( x, u, v, s)：

給定x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，求ω∈E，使得其中ρ＞0，是常數(shù)．

引理1[4]設(shè)E是自反的Banach空間，函數(shù)h(?,?)滿足條件i）至iv），若假設(shè)1滿足，則對(duì)任意給定的x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，存在ω?∈E, g(ω?)∈E ，使得輔助變分不等式問題Q( x, u, v, s)有解．

根據(jù)引理1，構(gòu)建廣義集值混合隱似變分不等式問題的迭代算法如下：

算法1 給定x0∈E, u0∈T( x0),v0∈A( x0),s0∈S( x0)，則問題（1）的逼近解序列{xn},{un}, {vn},{sn}由如下方式確定：

其中ρ＞0是常數(shù)，n∈N，H(?,?)是C( E?)上的Hausdorff度量．

3 存在性及收斂性定理

定理1 設(shè)E是自反的Banach空間，{xn},{un},{vn},{sn}是由算法1生成的解序列．如果T: E→C( E?)是σ1-g-Lipschitz連續(xù)的，A: E→C( E?)是σ2-g-Lipschitz連續(xù)的，S: E→C(E?)是σ3-g-Lipschitz連續(xù)的，N: E?×E?×E?→E?關(guān)于第一變?cè)偷诙?、第三變?cè)沁B續(xù)的，且映射N在第一變?cè)P(guān)于T是k1-η-局部松弛Lipschitz連續(xù)的，在第二變?cè)P(guān)于A是k2-η-局部松弛Lipschitz連續(xù)的，在第三變?cè)P(guān)于S是k3-η-局部松Lipschitz連續(xù)的，函數(shù)h(?,?)滿足條件i）至iv），并且假設(shè)1成立，若k1+k2+k3＞r ＞0,則存在x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，滿足廣義集值混合隱似變分不等式問題（1），并且有g(shù)( xn )→g(

證明：由（4）式知，對(duì)?y∈E有：

證畢．

注：上述定理去掉了文獻(xiàn)[1]中N為強(qiáng)單調(diào)性的條件，只需N是局部松弛Lipschitz連續(xù)的即可，且證明過程更為簡潔．

[1] Zeng L C. Existence and algorithm of solutions for generalized set-valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities [J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2006, 23(2): 324-332.

[2] Huang N J. Auxiliary principle and iterative algorithms for generalized set-valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 256(2): 345-359.

[3] 方長杰, 鄭繼明, 吳慧蓮. Banach空間中一類廣義集值非線性混合似變分不等式解的存在性與算法[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 30(1): 40-44.

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Iterative Algorithm for A Set of Generalized Set-valued Mixed Implicit Variational-like Inequalities

WANG Jihong, HE Zhongquan
(College of Mathematic and Information, China West Normal University, Nanchong, China 637009)

In Banach space, auxiliary variational principle was used to study iterative algorithm for a set of generalized set-valued mixed implicit variational-like inequality. And strong convergence theorem of iterative sequence was proved under the condition of partially relaxed Lipschitz continuity.

Generalized Set-valued Mixed Implicit Variational-like Inequality; Set-valued Mapping; Relaxed Lipschitz Continuity

O177.91

A

1674-3563(2010)02-0011-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.02.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2009-07-04

王繼紅(1980- )，男，陜西渭南人，碩士研究生，研究方向：非線性泛函分析．? 通訊作者，Lingjian shanshui@126.com