趙煥光，王 娜

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

若干重要不等式等價性證明及其應(yīng)用

趙煥光，王 娜

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

證明了平均值不等式、Young不等式、H?lder不等式、柯西不等式、Radon不等式與冪平均不等式等一系列重要不等式的相互等價，并舉例說明其應(yīng)用．

重要不等式；等價；證明

眾所周知，平均值不等式、Young不等式、H?lder不等式、柯西不等式、Radon不等式（也稱權(quán)方和不等式）、冪平均不等式等一系列重要不等式在不等式研究中具有舉足輕重的地位[1-2]，應(yīng)用非常廣泛[3-6]．實(shí)際上，這些重要不等式都是相互等價的，只不過是用表面上看起來差異很大的方式進(jìn)行表述．從本質(zhì)上說，它們都是關(guān)于凸函數(shù)f(x)=ex的Jensen不等式[2]的特例．本文將給出這些重要不等式相互等價的等價性證明，并舉例說明其應(yīng)用．

1 主要結(jié)果

定理 下述命題成立，而且相互等價：

1）加權(quán)AG不等式

2）Young不等式

3）H?lder不等式

4）Cauchy不等式

5）Radon不等式之一

6）Radon不等式之二

7）加權(quán)冪平均不等式之一

8）加權(quán)冪平均不等式之二

2 定理證明

眾所周知，函數(shù)f(x)=ex是最為典型的凸函數(shù)（∵f′′(x)=f′(x)=f (x)=ex）．由凸函數(shù)的定義或Jensen不等式[2]有：

因此Young不等式成立．下面證明等價性．

1）?2）：顯然．

3）?4）：顯然．

7）?8）：顯然．

8）?1）：已證．

這樣就完成了等價性證明．

3 應(yīng)用舉例

上述系列重要不等式的應(yīng)用非常廣泛，這里僅舉若干例用來說明Radon不等式之一在求解國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題中的應(yīng)用．

推論 下述命題成立：

由Radon不等式之一可得：

2）由Radon不等式之一有：

證畢．

[1] Hardy G H, Littlewood J E, P?lya G. 不等式[M]. 趙民義, 譯. 2版. 北京: 人民郵電出版社, 2008: 9-22.

[2] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004: 3-42, 348-357.

[3] 甘志國. 初等數(shù)學(xué)研究: I [M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2008: 384-388.

[4] 李勝宏. 平均值不等式與柯西不等式[M]. 上海: 華東師范大學(xué)出版社, 2005: 1-68.

[5] 羅增儒. 柯西不等式的證明與應(yīng)用[J]. 中等數(shù)學(xué), 2008, (11): 8-11.

[6] 蔡玉書. 幾個重要不等式與不等式的證明[J]. 中等數(shù)學(xué), 2009, (5): 6-11.

Equivalence Proofs and Their Applications of Some Important Inequalities

ZHAO Huanguang, WANG Na
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

The mutual equivalences among mean value inequality, Young’s inequality, H?lder inequality, Cauchy’s inequality, Radon inequality and power mean inequality and so on were proved. And their applications were illustrated by examples.

Important Inequality; Equivalence; Proof

O122.3

A

1674-3563(2010)02-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2009-09-11

趙煥光(1955- )，男，浙江瑞安人，教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育，泛函分析