徐啟寶,許爾金

(1.溫州宏源水電建設(shè)有限公司,浙江 溫州 325000;2.溫州市澤雅水庫,浙江 溫州 325023)

中長(zhǎng)期水文預(yù)報(bào)一般采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法、天氣學(xué)方法、非大氣因子方法3個(gè)方法來編制。在此采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法大體分為單要素分析和多要素分析。多要素分析方法相關(guān)因素多,分析較為復(fù)雜,因而在此不作分析。本文只簡(jiǎn)單介紹單要素預(yù)報(bào)方法中的“周期迭加與周期分析法”。

1個(gè)水文要素隨時(shí)機(jī)變化過程線的外形盡管多種多樣,但是總可以把它看成是幾個(gè)具有不同周期的周期波重疊而成。其數(shù)學(xué)模型為:

其中:X(t)為水文要素的時(shí)間序列;

P1(t)、P2(t)為周期波動(dòng)的序列。

這樣,只要根據(jù)實(shí)測(cè)資料,分析出它含有的幾個(gè)周期,并且假定這些周期在未來的一段時(shí)間內(nèi)仍然保持不變,就可以根據(jù)分析出來的周期分別進(jìn)行外延迭加而進(jìn)行預(yù)報(bào)。這就是應(yīng)用周期迭加進(jìn)行預(yù)報(bào)的概念。顯然,這個(gè)方法的關(guān)鍵是周期分析。

1 用方差分析法作周期分析的原理

水文要素存在著周期性變化的事實(shí),早已為人們所揭露。當(dāng)然,由于水文要素的歷史演變受到各種因素的影響,它不可能象天體運(yùn)動(dòng)、潮汐等現(xiàn)象具有嚴(yán)格的周期,而只是概率意義上的周期,也就是只能理解為某一現(xiàn)象出現(xiàn)之后,經(jīng)過一定的時(shí)間間隔,這種現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn)的可能性較大而已。由于各種水文要素過程線的外形比較復(fù)雜,不能很清楚地判斷它是否存在某種周期,因此需要利用各種周期分析來確定周期。周期分析應(yīng)解決的問題是:這一要素存在著周期變化;如果存在周期變化,確定周期;分析周期的可靠性。

周期分析的方法很多,在此采用方差分析的方法來分析周期。

1.1 利用方差分析作周期分析的基本概念

方差分析就是將此序列X(t)按不同的可能周期2、3、……、k進(jìn)行分組排列。計(jì)算各個(gè)試驗(yàn)周期中組間與組內(nèi)的方差比來確定存在那個(gè)周期。

在介紹方差分析之前,先來看1個(gè)假設(shè)具有5 a嚴(yán)格周期的特例。設(shè)某站有一要素具有20 a的資料,其數(shù)據(jù)見表1。

設(shè)有一時(shí)間序列X(t),共有n年實(shí)測(cè)資料x1,x2,……,xn。如果它存在周期時(shí),則可能的周期為 2、3、……、k,

表1 5 a嚴(yán)格周期的特例20 a的資料表

如果將它按照5 a嚴(yán)格周期分組排列成表2時(shí):

表2 5 a周期分組排列表

由表可見,各組組內(nèi)的數(shù)據(jù)都一樣,沒有差異,而各組組平均值之間的差異卻較大。

如果不按它的5 a嚴(yán)格周期排列,而按另一種年份 (比如4 a)分組排列如表3時(shí),則可以看出,各組組平均值完全相同,沒有任何差異,而同組內(nèi)各個(gè)數(shù)據(jù)卻差異較大。

表3 4 a周期分組排列表

就一般情況而言,1個(gè)站的某一要素如果存在著周期性變化時(shí),那么把它的歷史資料按其存在的周期分組排列時(shí),處在同一組內(nèi)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)應(yīng)該是處在同一位項(xiàng)下的觀測(cè)值。而不同組的數(shù)據(jù)則是處在不同位項(xiàng)下的觀測(cè)值。由于在各個(gè)周期的高峰時(shí)期所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)平均來說是比較大的,而在各個(gè)周期的低谷時(shí)期所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)平均來說是比較小的,在峰谷之間的轉(zhuǎn)換時(shí)期觀測(cè)數(shù)據(jù)則是中等的。因此,在同組之內(nèi)的數(shù)據(jù)的差異是相對(duì)較小的,而組與組之間數(shù)據(jù)的差異則是相對(duì)較大的。

反之,如果不按它的周期分組排列時(shí),則處于同組內(nèi)的資料包含著不同位相下的觀測(cè)值,1組之內(nèi)可能既有高峰、又有谷底和中等數(shù)據(jù),因此同組內(nèi)各項(xiàng)數(shù)據(jù)的差異就相對(duì)較大,而組與組之間的數(shù)據(jù)差異則相對(duì)較小。

組間與組內(nèi)數(shù)據(jù)的差異情況,可以分別計(jì)算它們的離差平方和把它們表示出來。這樣就可以利用計(jì)算出來的組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和進(jìn)行比較,并由此推斷是否有周期存在。

1.2 組間、組內(nèi)離差平方和S12、S22的計(jì)算

如果將有N年資料的要素按表4分組排列時(shí),j表示組別,j=1,2,……b,表示共分 b組。I為每組項(xiàng)數(shù),i=1,2,……a,表示每組有a項(xiàng)。Tj為每組合計(jì),T為總數(shù)為每組組內(nèi)平均值,而 X為總的平均值。則組間離差平方和、組內(nèi)離差平方和的計(jì)算公式為:

表4 試驗(yàn)周期分組表

由式(1)可見,組間離差平方和S12是指每組組平均值對(duì)總平均值的離差平方,再求和。,它代表了各組組平均值之間的差異前面還有1個(gè) a,這是因?yàn)槊拷M內(nèi)又有a項(xiàng)的關(guān)系。

組內(nèi)離差平方和是指同組之內(nèi)各項(xiàng)數(shù)據(jù) xij對(duì)組平均值的離差平方再求和,它代表了1組內(nèi)部數(shù)據(jù)之間的差異,由于共b組,所以還要把各組的相加 ,故

在實(shí)際計(jì)算時(shí)一般都用下面的式子計(jì)算,這是因?yàn)橐粍t計(jì)算方便,二則計(jì)算誤差較小。

1.3 計(jì)算自由度f1、f2及F值并選定信度a

由于在分析周期時(shí),要計(jì)算各種試驗(yàn)周期的S12與,而不同的試驗(yàn)周期在分組數(shù)目與每組含有的項(xiàng)數(shù)上都是不同的。為了能夠相互比較,所以還要計(jì)算它們的平均情況,即平均組間離差平方和與平均組內(nèi)離差平方和。

上式中f1(f1=b-1)、f2(f2=N-b)分別為組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和的自由度。

達(dá)到什么標(biāo)準(zhǔn)才算組間的平均離差平方和顯著地大于組內(nèi)的平均離差平方和呢?這就需要計(jì)算它們之間的比值F來確定:

在一定的條件下,可以證明,這個(gè)比值F是一隨機(jī)變量,而且它是服從F-分布的,F-分布有專用的F表可查,因此可以用F檢驗(yàn)的方法來檢驗(yàn)組間平均離差平方和是否顯著地大于組內(nèi)平均離差平方和。

在實(shí)際應(yīng)用時(shí),可先根據(jù)實(shí)測(cè)資料,用式(7)計(jì)算出F值,然后根據(jù)已知的自由度 f1、f2選定信度 a,在F分布的專門表中,查出相應(yīng)的 Fa,如果:

F＞Fa則表明,在這個(gè)a水平上,差異顯著,有周期存在;

F＜Fa則表明,在這個(gè) a水平上,差異不顯著,無周期存在。

以上介紹的是應(yīng)用方差分析進(jìn)行周期分析的基本思想,至于計(jì)算的全過程可參閱下面的實(shí)例。

2 實(shí)例分析—澤雅水庫雨量中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)

2.1 方案的基本思路

澤雅水庫1998年建庫以來至今只有11 a的歷史資料,為此,采用老澤雅站的水文資料 (1958年以來的),共50 a資料 (見表5)。

表5 預(yù)報(bào)2008年降水量計(jì)算表

假設(shè):把澤雅水庫的年降水量的變化過程作為一個(gè)波動(dòng)過程來看待,這個(gè)波動(dòng)由2個(gè)因素構(gòu)成:一是由具有周期變化的周期波;二是不具有周期變化的隨機(jī)波。在周期中,又認(rèn)為是由幾個(gè)不同周期的周期波互相疊加而成。

2.2 周期分析

周期分析根據(jù)50 a實(shí)測(cè)資料應(yīng)用方差分析進(jìn)行,具體計(jì)算過程如下:

2.2.1 計(jì)算各年降水量距平值 Δ Pi、Δ Pi2Δ Pi=Pi-

式中:Pi為各年的實(shí)測(cè)降水量(mm);

計(jì)算結(jié)果見表5第2、3列

2.2.2 試驗(yàn)周期分組排列

將各年的距平值按各種試驗(yàn)周期進(jìn)行分組排列,澤雅水庫共有50 a資料,n為奇數(shù),=25,因此,試驗(yàn)周期從25 a排至2 a。澤雅水庫5a周期的排列情況列表。根據(jù)表中的資料計(jì)算出各組的:組合計(jì)Tj、Tj2、Tj2/aj、均值,結(jié)果見表6。

表6 試驗(yàn)周期進(jìn)行分組排列 (澤雅水庫)表

2.2.3 計(jì)算組間、組內(nèi)離差平方和S12、S22

=134 620.3+45 516.61+479 890.4+471 046.3+365 879.8=1 496 953.3

組間自由度f1=b-1=5-1=4 試驗(yàn)周期為5,則b=5

組內(nèi)的自由度f2=N-b=50-5=45 N為觀測(cè)資料年數(shù),即 N=50

2.2.5 選定信度a

根據(jù)自由度f1、f2在F分布表中查出相應(yīng)的Fa值。試驗(yàn)周期為5時(shí),f1=4,f2=45,在 F分布表中查得:F0.05=2.59,F0.25=1.40。

F值:1.40＜2.08＜2.59即:F0.25＜F＜F0.05

可信度在a0.05～ a0.25

2.2.6 挑選周期

通過對(duì)5,6,7 a周期分析,6,7 a周期(分析過程在此不作介紹,結(jié)果見表5)不明顯,故挑選5 a周期為澤雅水庫的第1周期。

2.2.7 計(jì)算5 a周期波各年的振幅及新序列x1(t)

計(jì)算濾去5 a周期波以后的新序列x1(t):計(jì)算方法是將原序列x(t)減去5 a周期波P1(t)的序列即得,其結(jié)果見表5第6列。

2.3 余波項(xiàng)的計(jì)算

如前所述,把這一余波是作為符合平衡時(shí)間序列的要求來處理的。澤雅水庫的前期量采用5項(xiàng),其預(yù)報(bào)方程為:

預(yù)報(bào)系數(shù)b1,b2,b3,b4,b5由下列線性方程組決定

計(jì)算過程不作介紹。計(jì)算結(jié)果:b1=0.139 055,b2=0.119 32,b3=0.113 651,b4=-0.130 08,b5=-0.26975。余波計(jì)算結(jié)果見表5第7列。

2.4 預(yù) 報(bào)

2.4.1 距平計(jì)算值的計(jì)算

將5 a周期波各項(xiàng)與余波各項(xiàng)相加所得,所得結(jié)果見表5第8列。

2.4.2 各年的預(yù)報(bào)值的計(jì)算

這種預(yù)報(bào)方法就是所謂方差分析周期迭加法。由此法計(jì)算的年降水量過程線與實(shí)測(cè)過程線的比較見圖1。

3 結(jié) 論

(1)利用方差分析來分析周期時(shí),采用了方差比F來判斷周期是否顯著的檢驗(yàn)。而統(tǒng)計(jì)量F是有一定條件的,因此所得到的分析結(jié)果應(yīng)是近似的。

(2)應(yīng)用周期迭加來作預(yù)報(bào)時(shí),應(yīng)注意自然界是在不斷變化和發(fā)展的,當(dāng)水文要素演變的規(guī)律性發(fā)生了轉(zhuǎn)折時(shí),再用這種周期去預(yù)報(bào)時(shí)就會(huì)招致失敗。

(3)應(yīng)用周期迭加來作預(yù)報(bào)時(shí),關(guān)鍵是分析第1周期,如果第1周期分析不可靠,那么其余周期也受影響;而且應(yīng)用周期迭加來作預(yù)報(bào)時(shí),實(shí)際上假定了分析出來的周期在未來一段時(shí)間內(nèi)仍然保持,因此分析出來的周期比較穩(wěn)定,才能使預(yù)報(bào)較準(zhǔn)確。