?哈爾濱市第69中學(xué) 劉洋

對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，他具有結(jié)構(gòu)美觀、勻稱、旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定等特殊性質(zhì)，在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用.判定圖形的對(duì)稱非常適于考查學(xué)生觀察猜想、動(dòng)手操作、推理判斷的能力.因此，考查圖形（或圖案）的對(duì)稱性問(wèn)題備受中考青睞.本文就判定初中幾何圖形（或圖案）的對(duì)稱作一探討.

一、軸對(duì)稱圖形的判定

軸對(duì)稱圖形是關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，它具備下列基本性質(zhì)：

1.圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后，圖像上的任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸存在另一個(gè)點(diǎn)與之唯一對(duì)應(yīng)（對(duì)稱點(diǎn)）.特別當(dāng)圖形上某一個(gè)點(diǎn)處在對(duì)稱軸上時(shí)，其對(duì)稱點(diǎn)就是它自身；

2.對(duì)稱軸垂直平分不在對(duì)稱軸上的對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段.

軸對(duì)稱圖形中基本的對(duì)稱圖形是角與線段.角只有一個(gè)頂點(diǎn)（奇數(shù)），角的平分線是對(duì)稱軸，顯然對(duì)稱軸平分處在對(duì)稱軸上的定點(diǎn)所在位置的內(nèi)角.線段有兩個(gè)端（頂）點(diǎn)（偶數(shù)），線段的垂直平分線是其中一條對(duì)稱軸，顯然對(duì)稱軸垂直平分不在對(duì)稱軸上的對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段.

軸對(duì)稱圖形的判定有下列一般規(guī)律：

1.圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù).

（1）圖形只有一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，同時(shí)平分一組從頂點(diǎn)出發(fā)的兩條直線所構(gòu)成的夾角（夾角為180°時(shí)兩條直線在同一條直線上）的直線（如圖1）.

（2）圖形中若存在一個(gè)內(nèi)角（至少）的角平分線垂直平分某一條邊，同時(shí)在此角平分線一旁的其余各點(diǎn)總能在該直線另一旁找到一個(gè)點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對(duì)稱軸（如圖2）.

圖1

圖2

2.圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù).

（1）如星中若存在一條邊垂直平分線垂直平分另一條邊，在此垂直平分線一旁的其余各點(diǎn)總能在該直線另一旁找到一個(gè)點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對(duì)稱軸（如圖3）.

（2）圖形中若存在一個(gè)內(nèi)角（至少）的角平分線平分另一個(gè)內(nèi)角，同時(shí)在該直線一旁的其余各頂點(diǎn)總能在該直線另一旁找到一個(gè)點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對(duì)稱軸（如圖4）.

圖3

圖4

二、中心對(duì)稱圖形的判定

中心對(duì)稱圖形是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圖形，它具備下列基本性質(zhì)：

1.圖形上的任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后所到達(dá)的位置，原圖形總存在一個(gè)點(diǎn)與之唯一對(duì)應(yīng)（對(duì)稱點(diǎn)）；

2.圖形上的任意一個(gè)點(diǎn)不與對(duì)稱中心重合，圖形的任意一個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成自對(duì)稱；

3.對(duì)稱中心平分經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心的圖形的對(duì)角線（對(duì)角線即對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段）.

中心對(duì)稱圖像中最基本的對(duì)稱圖形是線段，線段有兩個(gè)端（頂）點(diǎn)（偶數(shù)），對(duì)稱中心是線段的中點(diǎn).

判定中心對(duì)稱圖形有下列一般規(guī)律：

1.圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù)；

2.連接圖形上各個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線中，對(duì)角線同時(shí)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，且被此點(diǎn)平分，此點(diǎn)一定是對(duì)稱中心.

特別地，相交直線的焦點(diǎn)不能看作圖形的頂點(diǎn).其頂點(diǎn)是除交點(diǎn)以外的直線上的點(diǎn).交點(diǎn)是對(duì)稱中心（如圖5、6）.

圖5

圖6

三、同是軸、中心對(duì)稱圖形的判定

這類圖形既是關(guān)于直線對(duì)稱、又是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圖形，它必須同時(shí)具備軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì).因此，其判定有下列一般規(guī)律：

1.圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù).

2.圖形是至少存在兩條互相處置的對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.

3.圖形是對(duì)角線平分且過(guò)對(duì)稱軸交點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形.這樣的圖形一定既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形（如圖7）.

圖7

四、圖案對(duì)稱性圖形的判定

圖案是由“基本圖形或基本圖案”通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱以及組合而構(gòu)成，這種變化的圖案形式多樣.軸對(duì)稱圖案，中心對(duì)稱圖案，同時(shí)軸、中心對(duì)稱圖案，是對(duì)稱圖案的3種基本特征：

1.“基本圖形與圖案”是軸對(duì)稱圖形.

2.“基本圖形與圖案”是中心對(duì)稱圖形.

3.“基本圖形與圖案”同是軸、中心對(duì)稱圖形.

因此，對(duì)稱圖案的判定有下列一般規(guī)律：

1.軸對(duì)稱圖案（1）任意圖形直接運(yùn)用軸對(duì)稱形成的圖案.（2）基本圖形的平移方向垂直于“基本圖形”的對(duì)稱軸、沿“基本圖形”的對(duì)稱軸上下平移、沿“基本圖形”的對(duì)稱軸兩側(cè)與對(duì)稱軸成等角平移且距離相等形成圖案（如圖8）.（3）對(duì)“基本圖形”旋轉(zhuǎn)任意角度后形成的圖案（如圖9）.仍符合軸對(duì)稱圖形的判定規(guī)律.

圖8

圖9

2.中心對(duì)稱圖案（1）基本圖形平移后，“基本圖形”的對(duì)稱中心共線或連接“基本圖形”對(duì)稱中心的圖形是中心對(duì)稱圖形的圖案（如圖10、11）.（2）直接以“基本圖形”的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)任意角度后形成的圖案（如圖12）.（3）運(yùn)用軸對(duì)稱形成的圖案（圖略）.人符合中心對(duì)稱圖形的判定規(guī)律.

3.同是軸、中心對(duì)稱圖案：圖案符合軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖案的判定規(guī)律（如圖11、12）.

圖11

圖12

綜上所述，判定圖形或圖案的對(duì)稱是有規(guī)律可循的.掌握了圖形或圖案對(duì)稱的一般規(guī)律，學(xué)生不僅能夠解決圖形或圖案的對(duì)稱性問(wèn)題，而且有利于學(xué)生利用圖形或圖案的對(duì)稱規(guī)律解決其他實(shí)際問(wèn)題.