一、分類討論思想
例1.四面體的頂點和各棱的中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有()
A.150種B.147種
C.144種D.141種
解析:任取4個點共C410=210種取法.四點共面的有三類:(1)每個面上有6個點,則有4×C46=60種取共面的取法;(2)相比較的4個中點共3種;(3)一條棱上的3點與對棱的中點共6種.
例2.某人手中有5張撲克牌,其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A,有5次出牌機會,每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限,此人有多少種不同的出牌方法?
解析:出牌的方法可分為以下幾類:
第一類辦法:5張牌全部分開出,有A55種方法;
第二類辦法:2張2一起出,3張A一起出,有A25種方法;
第三類辦法:2張2一起出,3張A一起出,有A45種方法;
第四類辦法:2張2一起出,3張A分兩次出,有C23A35種方法;
第五類辦法:2張2分開出,3張A一起出,有A35種方法;
第六類辦法:2張2分開出,3張A分兩次出,有C23A45種方法.
因此,共有不同的出牌方法A55+A25+A45+A23A35+A35+C23A45=860種.
二、函數(shù)思想
例3.證明:當n≥3時,2n≥2(n+1),n∈N
解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C1nx+…+Cnnxn,則f(1)=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn=1+n+C2n+…+Cn-2n+n+1=Cnn=2(1+n)+(C2n+…+Cn-2n)=2n
當n=3時,2n=2(1+n)
當n>3時,2n=2(1+n)+(C2n+…)=2n
所以當n≥3時,2n≥2(n+1),n∈N
三、整體思想
例4.有8本互不相同的書,其中數(shù)學書3本,外文書2本,其他書3本,若將這些書排成一列放在書架上,則數(shù)學書恰好排在一起,同時外文書也恰好排在一起的排法共有多少種?
分析:先將數(shù)學書和外文書各當作一個整體與其他書進行全排列,有A55種,再將數(shù)學書和外文書各自進行全排列,分別有A33和A22種,故一共有A55·A33·A22種。
四、等價轉(zhuǎn)換思想
例5.一條路上共有11個路燈,為了節(jié)約用電,擬關閉其中4個,要求兩端的路燈不能關閉,任意兩個相鄰的路燈不能同時關閉,那么關閉路燈的方法總數(shù)有多少種?
解析:11個燈中關閉4個等價于在7個開啟的路燈中,選4個間隔(不包括兩端外邊的裝置)插入關閉的過程,故有C46=15種.
例6.映射f∶A→B,如果滿足集合B中的任意一個元素在A中都有原象,則稱為滿射,已知集合A中有4個元素,集合B中有3個元素,那么從A到B的不同滿射的個數(shù)有多少個?
解析:集合A中的4個元素到集合B中的3個元素的不同滿射個數(shù)等價于將4個不同的小球放入3個不同的盒子,每個盒子都不空的不同放法。由題意可得有3C14C13C22=36個。
五、數(shù)形結(jié)合思想
例7.在一塊10壟并排的地中,任選2壟分別種植A、B兩種植物,要求A、B兩種植物的間隔不小于6壟,則有多少種不同的選壟方案?
解析:如圖,
用并排一行的10個小矩形表示10壟地,小矩形內(nèi)加○號表示選中,具體畫出來有6種選取方式,再對每種選取方式,分別種植A、B兩種植物,有A22種種植方法,因此共有6A22=12種選壟方案。
作者單位:貴州省龍里中學