我們知道，數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。數(shù)學(xué)公式、定理和方法都是反映數(shù)學(xué)對象和概念間的關(guān)系。如果沒有學(xué)好數(shù)學(xué)概念，那么對數(shù)學(xué)公式、定理和方法不可能理解。可以說，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)。另外，深入理解數(shù)學(xué)概念的過程使抽象邏輯思維得到鍛煉，對提高思維能力有促進(jìn)作用。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)十分重要。

一般來說，對數(shù)學(xué)中一些重要概念的教學(xué)要使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延及其表達(dá)形式(包括定義、名詞、符號)，還要了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)知識體系中不斷加深擴(kuò)大對概念的認(rèn)識，成為系統(tǒng)的知識，并能運(yùn)用概念知識來解決數(shù)學(xué)問題。即要求理解、記憶、系統(tǒng)、會用。為達(dá)到這樣的要求，下面我們來探討有關(guān)教法問題。

一、注意引入新數(shù)學(xué)概念

各種數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有各種不同的途徑。有的是現(xiàn)實模型的直接反映，有的是在相對具體的概念基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象得來，有的是經(jīng)過思維加工，把思維對象理想化、純粹化得來，有的是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要直接規(guī)定得來，有的是理論上有存在

的可能性做出來的，有的是從數(shù)學(xué)對象的

結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來。

因為任何數(shù)學(xué)概念都有它的具體內(nèi)容，特別中學(xué)數(shù)學(xué)中大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都有它的現(xiàn)實模型。對于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，中學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)過程中，或多或少都有過接觸。因此，從認(rèn)識發(fā)展的觀點來看，在中學(xué)進(jìn)行新概念教學(xué)時，應(yīng)根據(jù)各個概念的產(chǎn)生發(fā)展的具體途徑，從學(xué)生接觸過的具體內(nèi)容或現(xiàn)實模型引入。同時，從數(shù)學(xué)知識發(fā)展的需要提出，這是一種有效的方法。

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有時也可以采用從已知概念引入新概念的方法。例如，教學(xué)反正弦函數(shù)的概念，一般是在學(xué)生學(xué)習(xí)了反函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用反函數(shù)的特征來判別正弦函數(shù)在什么條件下存在反函數(shù)的問題，從而引入反正弦函數(shù)。又如，凡屬于數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的概念，一般都在學(xué)習(xí)了這個對象有關(guān)概念的基礎(chǔ)上把它們提出來。例如，在學(xué)習(xí)了多邊形的概念以后，提出多邊形的邊、角、對角線等概念，學(xué)生是不難理解的。

由此可見，引入概念的方法是多種多樣的?？梢詫?shù)學(xué)模型直接觀察而引入新概念，也可以通過計算、推理、作圖來發(fā)現(xiàn)新概念。但是，任何一種方法都要符合學(xué)生認(rèn)識發(fā)展的規(guī)律以及每個數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的規(guī)律。

二、揭示數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵

對于原始概念的教學(xué)，一般通過對具體事例的觀察，找出某特性，并給予說明或描述，使學(xué)生認(rèn)識這個原始概念所反映的對象范圍和屬性。例如，在幾何中關(guān)于“點”的教學(xué)，可以讓學(xué)生觀察箭頭的尖端，地圖上用點表示城鎮(zhèn)位置等實例，從而抽象出“點有位置而無大小”的概念，還應(yīng)說明所謂無大小關(guān)系是無足輕重的，也就是對它的大小加可否。正因為它脫離了現(xiàn)實世界的物質(zhì)內(nèi)容，因此在數(shù)學(xué)中就可以把箭頭的尖端或者地圖上表示城鎮(zhèn)位置的點作為“點”的模型。

此外，有的原始概念的教學(xué)可采用指明對象的方法或者用通俗的同義來說明的方法。例如，“0，1，2，3，…叫做自然數(shù)”就是用列舉對象來揭示自然數(shù)的外延。又如，“某些指定的對象集在一起的集體就成為一個集合”是用“集體”這個同義詞來說明集合的外延。至于這些概念的內(nèi)涵是什么，只能在以后的學(xué)習(xí)中逐步認(rèn)識。

對于一般的定義的概念教學(xué)應(yīng)重點指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定義中的屬概念和種差，認(rèn)識被定義的概念有它的屬概念的一切屬性，又有它自己獨(dú)有的特征，即定義中的種差，這樣，學(xué)生就認(rèn)識了概念的內(nèi)涵。為了使學(xué)生對所學(xué)概念加深認(rèn)識，應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)定義來判別一些數(shù)學(xué)對象，借以明確概念所反映對象的范圍，即概念的外延。有時，還可以采用概念的劃分方法或者與其他有關(guān)概念或類似概念比較的方法，進(jìn)一步弄清概念的內(nèi)涵和外延。

三、明確認(rèn)識概念間的關(guān)系

數(shù)學(xué)概念是隨著數(shù)學(xué)知識的發(fā)展而不斷發(fā)展的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念也要在數(shù)學(xué)知識體系中不斷加深認(rèn)識，從數(shù)學(xué)概念間的各種關(guān)系來豐富所學(xué)概念的內(nèi)容、深化所學(xué)概念的認(rèn)識。

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，隨著數(shù)、式、運(yùn)算等知識的發(fā)展，逐步認(rèn)識一次函

數(shù)、二次函數(shù)、有理數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。因此，學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，必須注意函數(shù)與數(shù)、式、運(yùn)算等數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。同時，要注意在數(shù)學(xué)知識體系中去理解函數(shù)概念及其性質(zhì)。

另外，學(xué)習(xí)一些同類概念，可以采用概念分類和比較它們的外延和內(nèi)涵的方法，找出它們的共同點和不同點，從而認(rèn)識各個概念間的外延關(guān)系，如同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系、矛盾關(guān)系、對立關(guān)系等。

例如，為了使學(xué)生對實數(shù)概念得到較全面系統(tǒng)的認(rèn)識，在復(fù)習(xí)實數(shù)概念時可以先把實數(shù)進(jìn)行分類，寫出分類表。通過分類表來指出數(shù)的概念從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)到有理數(shù)到實數(shù)的擴(kuò)充過程。進(jìn)一步比較各種數(shù)集及其運(yùn)算性質(zhì)，從而指出數(shù)的概念的擴(kuò)充原則以及各種數(shù)集的關(guān)系。這樣，學(xué)生會對數(shù)的概念得到清晰的、系統(tǒng)的認(rèn)識。

四、正確理解并能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的名

稱和符號

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念主要是通過抽象的術(shù)語、名詞、符號等信息來認(rèn)識的，數(shù)學(xué)中的計算、推理、證明也多數(shù)通過抽象的符號來實現(xiàn)。因此，教學(xué)中使學(xué)生正確理解并會正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的名稱和符號很有必要。

例如，學(xué)生初學(xué)反三角函數(shù)時，往往由于對反正弦函數(shù)符號的含義不夠理解，造成下面的推理錯誤:

使學(xué)生正確理解并能運(yùn)用抽象數(shù)學(xué)名詞和符號的方法，首先要讓學(xué)生掌握各個名詞、符號所代表的數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，以及約束的條件，再通過一定的練習(xí)來分清一些易于混淆的界限，才能防止類似上面的那些錯誤。

五、發(fā)揮數(shù)學(xué)概念在運(yùn)算、推理、證明中的理論指導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理、證明必須以有關(guān)概念為依據(jù)。例如，確定三角函數(shù)值的符號和它的絕對值必須以三角函數(shù)的定義為依據(jù)。要證明平行四邊形的兩組對邊相等、相鄰兩內(nèi)角互補(bǔ)和兩對角線互相平分等性質(zhì)，必須以平行四邊形的本質(zhì)屬性為依據(jù)。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生了解各個概念在運(yùn)算、推理、證明中的理論指導(dǎo)作用。這樣不僅能使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)概念，而且有利于提高學(xué)生的各種基本能力以及分析問題和解決問題的能力。

作者單位:重慶市旅游學(xué)校