摘要: 本文以組成數(shù)學(xué)知識的三個知識系統(tǒng)之間的關(guān)系為思想基礎(chǔ)，遵循人們的思維規(guī)律，提出了研究性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式是科學(xué)的學(xué)習(xí)模式，給出了數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的四個步驟。

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)過程研究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)知識是科學(xué)知識的重要組成部分，在各個科學(xué)領(lǐng)域中具有極其廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)、發(fā)展數(shù)學(xué)的必要知識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，只有在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的研究性學(xué)習(xí)模式，才能使學(xué)習(xí)者既獲得數(shù)學(xué)理論性知識，又獲得分析問題、解決問題的科學(xué)思想能力。

一、數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)及關(guān)系

數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)可以看作是由以下三個系統(tǒng)組成:數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)、數(shù)學(xué)實踐系統(tǒng)、數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)。數(shù)學(xué)實踐系統(tǒng)是指所研究的主要數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)問題的具體實例的全部，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)是數(shù)學(xué)實踐系統(tǒng)一般規(guī)律的反映，即理論來源于實踐。又由于數(shù)學(xué)研究對象的廣泛性、深刻性、科學(xué)性，只有建立數(shù)學(xué)理論并運用數(shù)學(xué)理論才能更全面、更深刻、更有效地解決實踐問題，即理論用于實踐。數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)上的認(rèn)識，是對具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的認(rèn)識過程中提煉概括的基本觀點和方法。

綜上所述，要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)知識，就要全面學(xué)習(xí)三個知識系統(tǒng)。我們既要學(xué)習(xí)理論與實踐，又要學(xué)習(xí)運用數(shù)學(xué)的思想方法，從而使學(xué)習(xí)更深刻、更全面、更有效、更具有研究能力和創(chuàng)新精神。

二、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)過程的具體步驟

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)過程和研究其它知識一樣，是遵循人們認(rèn)識世界的一般規(guī)律的，即從宏觀到微觀、從感性到理性、從定性到定量、從直觀到抽象、從實踐到認(rèn)識的循環(huán)往復(fù)的認(rèn)識過程。下面介紹具體數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)步驟。

(一)數(shù)學(xué)問題的展現(xiàn)

研究任何問題首先要對問題充分展現(xiàn)，為下面的工作奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，故對主要研究對象和研究問題主要是以幾何形式和代數(shù)形式展現(xiàn)。所謂主要研究對象是指需要研究的事物，而主要研究問題是指主要研究對象的某方面數(shù)學(xué)屬性、關(guān)系或規(guī)律。如研究函數(shù)極限，其主要研究對象是函數(shù)，主要研究問題是極限規(guī)律的有關(guān)理論。在數(shù)學(xué)問題中，相同的主要研究對象有不同的主要研究問題。如同以函數(shù)為主要研究對象，就可以有函數(shù)概念、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)微分、函數(shù)積分等不同的主要研究問題。數(shù)學(xué)問題的幾何展現(xiàn)具有形象、直觀、定性理解性強(qiáng)的特點。而數(shù)學(xué)問題的代數(shù)展現(xiàn)具有科學(xué)、準(zhǔn)確、抽象、邏輯性強(qiáng)的特點。兩種展現(xiàn)形式共同運用、優(yōu)勢互補(bǔ)、相輔相成，才能更好地對所研究的問題進(jìn)行完善充分的展現(xiàn)。要特別注意的是在整個數(shù)學(xué)研究的四個具體步驟中，一定要對實踐系統(tǒng)、理論系統(tǒng)、思想方法系統(tǒng)進(jìn)行全面展現(xiàn)，否則就會形成研究背景不充分，使研究性學(xué)習(xí)過程受阻而不能順利進(jìn)行。如研究函數(shù)極限問題，既要有一般形式的函數(shù)及圖像形式，又必須有具體函數(shù)即實踐系統(tǒng)的全面展示，要展示基本初等函數(shù)及由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟形成的初等函數(shù)，并要展現(xiàn)非初等函數(shù)。這樣才能有助于在研究極限時進(jìn)行各種情況的分析。并且，正是函數(shù)這個實踐體系的結(jié)構(gòu)關(guān)系才產(chǎn)生了極限四則運算、反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)極限運算法則等理論。

(二)數(shù)學(xué)問題的分析

我們應(yīng)對主要數(shù)學(xué)研究對象和主要數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入、細(xì)致的分析，研究其屬性、關(guān)系、規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)猜想。這個工作是區(qū)別于以邏輯路線為主的“填鴨式”教學(xué)的重要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)理論就是揭示事物屬性、關(guān)系、規(guī)律的。在此環(huán)節(jié)的工作中我們要注意結(jié)合三個系統(tǒng)，即以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，注意理論從實踐中來到實踐中去的認(rèn)識規(guī)律。如極限四則運算法則的學(xué)習(xí)，對于兩個函數(shù)和、差、積、商的極限問題無論從幾何上還是代數(shù)上都是極易理解的，也很容易提出極限四則運算的猜想。但對于不同問題數(shù)學(xué)研究有其多樣性特點。如函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，兩個函數(shù)和、差求導(dǎo)法則就極易理解，而由于兩個函數(shù)積、商的一般幾何圖形反映不能很精確，故積、商的求導(dǎo)法則直觀、定性理解就要弱化，這是由于數(shù)學(xué)問題不同產(chǎn)生的正?，F(xiàn)象。但我們?nèi)阅芴岢霾孪?兩個函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)和這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否存在關(guān)系?我們依此繼續(xù)展開研究，用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行具體試驗性運算，對此問題就會圓滿解決。

(三)理論化工作

對于上一步分析所得到的直觀性和定性的數(shù)學(xué)猜想，我們只有進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證或數(shù)學(xué)計算才能形成數(shù)學(xué)理論。運用數(shù)學(xué)理論對數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行科學(xué)論證或計算的思想方法是數(shù)學(xué)思想方法的極為重要部分。但既然是數(shù)學(xué)思想方法就有其廣泛的共性，只要在學(xué)習(xí)過程中注意對思想方法的分析、總結(jié)，就會不斷提高運用理論分析解決數(shù)學(xué)問題的能力。如羅爾、拉格郎日、柯西三個中值定理的證明，其思想方法本質(zhì)只是一個。問題不同，論證思想方法本質(zhì)相同或相近現(xiàn)象在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中是極其廣泛的，可以說無處不在。又如前面提到的函數(shù)極限的求導(dǎo)法則，當(dāng)猜想提出后如何證明呢?這就要聯(lián)想相關(guān)的極限問題理論及論證的思想方法，獲得各種論證的可能方案，經(jīng)過實踐，使問題得以論證。值得珍惜的不僅是成功的方案，不成功的方案依然是珍貴的，正確的思路很可能在其它問題上是成功的方案，不完全正確的思路，有助于我們思想方法的積累和分析解決問題的能力的提高。

(四)反思階段

一些教師在數(shù)學(xué)問題得到解決之后，往往就結(jié)束了對該問題的研究。其實這樣有很大的不足。正如前面所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要學(xué)習(xí)理論和實踐知識，又要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，以利于學(xué)生豐富數(shù)學(xué)思想方法知識，提高分析問題和解決問題的能力。我們經(jīng)過前三步雖然使問題得到了解決，但由于對新問題解決的思維過程是十分復(fù)雜的發(fā)散思維過程，對各種可能的解決思路要進(jìn)行多種試驗論證工作，在問題的研究過程中既有理性思維，又有許多感性的、直覺的、經(jīng)驗性的思維，因此問題雖然解決了，但整個思路處于比較混亂狀態(tài)。所以只有經(jīng)過對整個研究過程的思維過程進(jìn)行反思，使思想方法得以化感性為理性、化混亂為清晰簡明，才能使思想方法體系得到豐富和提高。只有不斷總結(jié)、豐富新的思想方法，才能具有持續(xù)的掌握新的、更高級的、更復(fù)雜知識的能力。所以在學(xué)習(xí)過程中，對反思階段我們必須給予高度重視。它是學(xué)習(xí)過程不可缺少的關(guān)鍵步驟，是學(xué)習(xí)思想方法的收獲環(huán)節(jié)。

數(shù)學(xué)思想方法體系是多層次的豐富的知識系統(tǒng)。同一數(shù)學(xué)課程的不同部分存在著大量相同或相似的思想方法;不同的數(shù)學(xué)課程也存在著大量的相同或相似的思想方法;對于不同專業(yè)，即使是反差極大的文理學(xué)科，也存在著大量的相同或相似的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)是無限的，需要我們不斷地去豐富和完善。綜合運用數(shù)學(xué)的思想方法形成科學(xué)的、具體的、可操作的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的方法與步驟對于數(shù)學(xué)的科學(xué)學(xué)習(xí)、研究、提高數(shù)學(xué)能力起著至關(guān)重要的作用。

參考文獻(xiàn):

[1]華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版社，1999.

[2]孫淑娥.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007.6.

[3]辛興云，張永春.數(shù)學(xué)教學(xué)中的哲學(xué)思考[J].教育理論與實踐，2006.7.

[4]郭劉龍，陳宇濤.論數(shù)學(xué)思想方法的教育價值[J].教育理論與實踐，2005.1.