盧 勇

研究性課程旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力,它要求給學(xué)生提供研究的問題和背景,讓學(xué)生自主研究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,因而具有研究性;從問題的提出,方案的設(shè)計(jì)和實(shí)施,到結(jié)論的得出,均由學(xué)生來做,因而具有自主性;它一般要通過調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、歸納猜想、推證結(jié)論、社會(huì)實(shí)踐等方式進(jìn)行學(xué)習(xí),因而具有開放性和實(shí)踐性。

目前,研究性學(xué)習(xí)已作為一門正式課程列入教學(xué)計(jì)劃,各校對(duì)研究性學(xué)習(xí)課程的開發(fā)方興未艾。本文以自己的教學(xué)實(shí)施為例,談?wù)勓芯啃哉n程的教學(xué)實(shí)施。

一、問題的提出

研究性課程學(xué)習(xí)最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是確定研究專題,而專題的確定有兩種模式:一是從學(xué)生生活和社會(huì)生活中選擇和確定專題;二是創(chuàng)設(shè)問題情景由課堂教學(xué)直接切入課題,課題內(nèi)容是教學(xué)內(nèi)容的延伸,后者應(yīng)該是研究性課程開展的常用方法。

例如我在課堂研究函數(shù)圖像的性質(zhì)時(shí),先展示這樣一道題:

問題1設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,則函數(shù)f(1-x)與f(1+x)的圖像關(guān)于()

A.直線y=0對(duì)稱 B.直線x=0對(duì)稱

C.直線y=1對(duì)稱 D.直線x=1對(duì)稱

選什么呢?學(xué)生常常容易與下一題混淆而錯(cuò)選D。不妨請(qǐng)學(xué)生再來看這樣一道題:

問題2設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,且滿足f(1-x)=f(1+x),則有f(x)的圖像關(guān)于()

A.直線y=0對(duì)稱 B.直線x=0對(duì)稱

C.直線y=1對(duì)稱 D.直線x=1對(duì)稱

問:這兩題一樣嗎?區(qū)別在哪里?如何解答?

學(xué)生們通過仔細(xì)比較,不難發(fā)現(xiàn)兩題不一樣,前者是兩函數(shù)f(1-x)與f(1+x)之間的對(duì)稱問題;后者則是函數(shù)f(x)自身的對(duì)稱問題。 此時(shí)有學(xué)生通過特例,如令f(x)=x2得出問題1的答案選B、問題2的答案選D。

再問:它們的一般形式各是什么?又有什么樣的一般結(jié)論呢?類似于它們的一般形式的問題還有哪些?如何解答?請(qǐng)同學(xué)們課后認(rèn)真加以研究和探索。

二、問題的探討

研究性專題確定以后,學(xué)生在解決了以上兩個(gè)具體問題基礎(chǔ)上,自己動(dòng)手收集資料,自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、歸納、探索、總結(jié),學(xué)生之間互相討論、交流后發(fā)現(xiàn):

以上兩題的一般形式分別為“f(a-x)與f(a+x)”和“f(a+x)=f(a-x)”,并得到如下一些結(jié)論:

結(jié)論1:定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),

(1)若滿足f(a+x)=f(a-x),則有f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

(2)若滿足f(x-a)=f(a-x),則有f(x)圖像關(guān)于直線x=0(y軸)對(duì)稱;

(3)若滿足f(x-a)=f(x+a),則有f(x)為周期T=2|a|的周期函數(shù)。

理由:(1)以a>0為例,∵f(a+x)=f(a-x)∴f(a+x)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,再將圖像向右平移a個(gè)單位得f(x)的圖像,即f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱,其等價(jià)形式為“f(x)=f(2a-x)”。

(2)f(x-a)=f(a-x)即f(t)=f(-t),從而f(x)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

(3)條件可轉(zhuǎn)化為f(x)=f(x+2a),符合周期函數(shù)的定義,f(x)為周期函數(shù)T=2|a|。

教師啟發(fā):觀察以上的結(jié)論,你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?對(duì)(1)你能作更一般的推廣嗎?

此時(shí),學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)出這樣的特征:若條件中等式兩邊括號(hào)里x前系數(shù)相反,則f(x)的圖像為軸對(duì)稱(如(1)、(2));若x前系數(shù)相同,f(x)為周期函數(shù)(如(3))。同時(shí),對(duì)(1)推廣得更一般的結(jié)論:

結(jié)論2:定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),若滿足f(a+x)=f(b-x),則有f(x)圖像關(guān)于直線x=2/(a+b)對(duì)稱。

理由:f(a+x)=f(b-x)等價(jià)于f(2/(a+b)+x)=f(2/(a+b)-x).

不難發(fā)現(xiàn),結(jié)論1中(2)也是結(jié)論2的特例。

學(xué)生通過啟發(fā)、思考、 討論,交流,又出現(xiàn)新的研究成果,學(xué)生為一種結(jié)論的得出而欣喜,又進(jìn)一步激發(fā)他們探究的欲望,導(dǎo)致新成果不斷涌現(xiàn)。

結(jié)論 1': 定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),

(1)若滿足f(a+x)=-f(a-x), 則有f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱;

(2)若滿足f(x-a)=-f(a-x), 則有f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱;

(3)若滿足f(x-a)=-f(x+a),則有f(x)為周期T=4|a|的周期性函數(shù)。

理由:以a>0為例,

(1)式中可記f(a+x)=φ(x),條件為φ(x)= -φ(-x),得φ(x)即f(a+x)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。而f(x)的圖像可由φ(x)的圖像向右移a個(gè)單位而得,從而得f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱。

(2)式中等價(jià)于f(-t)=-f(t)知f(x)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

(3)式中可令x-a=t,從而得f(t+2a)=-f(t),所以f(t+4a)=-f(t+2a)=-[-f(t)]=f(t),即f(t+4a)=f(t),知f(x)為周期函數(shù),T=4a。

結(jié)論2':定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),若滿足f(a+x)=-f(b-x), 則有f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(2/(a+b),0) 對(duì)稱。

教師進(jìn)一步啟發(fā):比較結(jié)論 1和結(jié)論1',或結(jié)論2和結(jié)論2',你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生容易得出:區(qū)分“軸對(duì)稱”與“中心對(duì)稱”的標(biāo)準(zhǔn)是等式兩邊是否相差負(fù)號(hào)。

在以上以某函數(shù)自身為研究對(duì)象的研究性學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)該相信:學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí),也基本掌握了這類問題的研究方法,再研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)之間的關(guān)系就輕而易舉了。

結(jié)論3:若f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上,則

(1)f(a-x)與f(a+x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱,

(2)f(x-a)與f(a-x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱,

(3)f(x-a)的圖像左(右)平移2|a|個(gè)單位可得f(x+a)的圖像。

理由(1)中由于函數(shù)f(a+x)已不是f(x),而是由f(u)與u=a+x復(fù)合而成的函數(shù),可記為g(x),即f(a+x)=g(x),則f(a-x)=g(-x)。顯然,g(x)與g(-x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,即f(a-x)與f(a+x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

(2)中以a>0為例:

(3)以a>0為例,將f(x-a)的圖像左移2a個(gè)單位可得f(x+a)的圖像。

結(jié)論4:若f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上,則函數(shù)f(a+x)與函數(shù)f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=2/(b-a)對(duì)稱。

理由:以a>0,b>0為例,f(x)與f(-x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,而f(a+x)的圖像可由f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位而得,函數(shù)f[-(x-b)]的圖像可由f(-x)的圖像向右平移b個(gè)單位而得,因此函數(shù)f(a+x)與函數(shù)f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=x=2/(b-a)對(duì)稱。

結(jié)論3':若f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上,則

(1)f(a+x)與-f(a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,

(2)f(x-a)與-f(a-x)的圖像關(guān)于(a,0)對(duì)稱,

(3)f(x+a)的圖像需作左(右)平移和關(guān)于x軸的對(duì)稱交換,可得-f(x-a)的圖像。

理由略。

結(jié)論4':若f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上,則函數(shù)f(a+x)與函數(shù)-f(b-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(x=2/(b-a),0)對(duì)稱。

理由略。

最后,提請(qǐng)學(xué)生對(duì)以上內(nèi)容加以整理、概括、提煉。學(xué)生歸納如下:

(一)解答此類問題的步驟:首先,要分清是一個(gè)函數(shù)自身的問題,還是兩個(gè)函數(shù)之間的問題;第二步,是對(duì)稱性問題,還是周期性問題,無論是一個(gè)函數(shù)自身還是兩個(gè)函數(shù)之間,只要一般形式中x前的符號(hào)相同,就是周期性問題,反之,就是對(duì)稱性問題。

(二)為區(qū)分各類情形,可歸納成下表:

事實(shí)證明:在研究性學(xué)習(xí)中,學(xué)生的學(xué)習(xí)完全是自主的、開放的,開設(shè)研究性課程是實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新教育的一條必由之路。