陳方杰

摘要:奧林匹克數學競賽題相對于一般數學題而言,更側重考查學生對知識的綜合運用能力和解題思維能力,題目相對偏難一些。要解答奧林匹克數學競賽題,不僅要有牢固的知識做基礎,還必須選擇一個好的解題方法。那么,在解題的時候如何展開思維、如何來尋找這些解題方法即采取什么樣的解題思維策略來分析題目,進而找到解題思路,提出解題方案;奧林匹克數學競賽解題思維過程又是怎么展開的呢?本文我們就來探討一下。

關鍵詞:奧林匹克;數學競賽;思維活動;解題規(guī)律

在奧林匹克數學競賽中為解答試題所進行的思維活動稱為奧林匹克數學競賽題的解題思維。通過對思維的分析可知:奧林匹克數學競賽的解題思維是以邏輯思維為主的創(chuàng)造性的思維活動,奧林匹克數學競賽題的解決過程是一個創(chuàng)造性的解題思維過程。

在解題時,通常要對題目所給的條件與結論進行聯系、分析,以找到利用什么知識、選用什么方法來解答問題,然后對問題進行剖析,對各種信息進行篩選、加工和重組,從而創(chuàng)造利用知識和方法的條件,這種復雜的、富有創(chuàng)造性的思維過程就是解題思維過程[1]。在數學學習心理學中,問題解決一般理解為一種操作過程或心理過程。問題解決又稱解決問題,是一系列有目的、有指向的認知操作過程,是以思考為內涵、以問題為目標定向的心理活動過程[2]。具體地說,數學問題解決是從對問題初始狀態(tài)的閱讀開始,經過一系列的心理操作達到問題目標狀態(tài)結果。在這一系列心理操作過程中,問題解決者必須根據問題所給的信息找到問題的當前狀態(tài)和目標狀態(tài)之間的差異,并采取一定的思維策略找出解決問題的方案。

對問題解決的思維過程,許多專家和學者進行了研究。杜威早在1910年就提出了問題解決的五個階段:感覺疑難、確定疑難、提出可能的答案、考慮各種結果、選擇解答方法。波利亞在1957年根據問題的解決思路提出了“怎樣解題”表,把數學的解題過程分為弄清問題、擬訂計劃、實現計劃和回顧解答四個部分。著名心理學教授Zelazo對問題解決的思維過程也進行了深入分析,他把問題解決的思維過程劃分為時間上和功能上不同的幾個階段:問題表征階段、解題計劃制定階段、執(zhí)行擬訂計劃階段、解題過程的評價階段。其中執(zhí)行計劃階段又包括意向形成和推理規(guī)則使用兩個子步驟,解題過程評價階段又包括錯誤覺察和錯誤修正兩個子步驟[3]。

我國數學教育界不少專家和學者對數學問題的解決也都有著積極的探索,并提出了解決的模式。曹才翰等人認為問題解決的模式為[4]:①問題情景;②問題轉換;③尋求解法;④求得解答。傅敏等人提出如下思維過程[5]:①呈現問題;②分析問題;③聯系;④行為選擇;⑤檢驗。盡管以上這些對問題解決過程的觀點的描述各有所異,但總體來看,我們會發(fā)現解題始終遵循著從對問題的理解出發(fā)、明確解題方向、尋找解題策略、達到解題目的和回顧題解這一過程規(guī)律。奧林匹克數學競賽解題過程是一種特殊的問題解決思維過程。根據奧林匹克數學競賽題的特點,在前人研究的基礎上,從教育心理學的認知觀點著手,我們可以將奧林匹克數學競賽解題的思維過程分為問題表征、解析問題、解決問題、解題監(jiān)控和題后反思五個階段。

一、問題表征

問題表征指形成問題空間,包括明確問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)及允許的操作[6]。問題的表征也就是審題,在這個思維階段中,觀察和表象占很大的比重。解題者首先通過讀題對問題進行字面理解,用自己的話重新表述問題,把問題的文字和符號等信息轉化為解題者內部的心理表征。并在此基礎上,對問題進一步深入理解,審清題目的結構,判別題目的類型,區(qū)分題目中的有關信息和無關信息。通過對問題正確的表征,能弄清題目所要求的結論是什么,為解題的思維指明方向。對題目的條件進行羅列,發(fā)掘隱含條件,根據解題的目標方向,來發(fā)現可用的條件。問題表征是否正確對高中數學競賽解題是很重要的,它為后面的解題思維過程打下了基礎,如果一個問題得到了正確表征,那么可以說問題已解決了一半[7]。

二、解析問題

解析問題即分析和理解問題。在這個階段,解題者要對問題所包含的信息和本身已儲存的知識信息進行主動的加工,通過這種加工進而認識問題的起始狀態(tài)與目標狀態(tài),并判斷是否有現成的解題途徑。個體的知識和解題經驗影響著解題者對問題的理解。實際上,在解析奧林匹克數學競賽題時,解題者是在審題的基礎上對問題給出的條件和結論仔細地分析,結合已有的知識和解題經驗進行思考,以找到切入點,理清解題思路,設計出解題方案。

問題的解析是一個循環(huán)往復的過程,對問題的理解產生對應的解題方案,執(zhí)行解題方案的過程中則不斷地改變問題的起始狀態(tài)或目標狀態(tài)[8]。通過對題目當前狀態(tài)所含信息的反饋,解題者會聯系目標狀態(tài),發(fā)現題目中各個部分的差異,然后更加深入地理解分析問題,找到條件和結論存在的聯系后,重新對題目所提供的信息進行轉換、重組或解釋,從而獲得更多的信息,實現條件和結論之間的轉化。問題理解讓解題者的思維受阻時,應重新制定解題方案,使解題思維沿著正確的方向發(fā)展,如此往復,直至問題獲得解答。問題的解析是否適意,對問題解決具有直接的影響。

三、解決問題

解決問題是解題者在前面對題目的表征和理解的基礎上,根據問題的特點來改變問題的起始狀態(tài)而擬訂出解題方案并執(zhí)行這個方案。解題方案是由一系列的操作所構成,解題操作的選擇和組織是由選取一定的策略來決定的。在此過程中解題者就要運用解題思維策略選取一定的解題方法,減小起始狀態(tài)與目標狀態(tài)之間的差異,即實現由未知向已知的轉化。在解題過程中,解題者經常會遇到難以執(zhí)行解題操作的情況,甚至無法實施。這種情況下解題者需要重新對問題進行理解,調整解題方案,從而實現新的操作。由此可見,未知到已知的轉化和選擇解題方法是兩個交織循環(huán)的過程,解題者采取思維策略對各種解題途徑進行比較篩選,找到一種最佳的解題方案,然后采取方案對問題進行解決。解決問題是解題思維過程的核心階段。

四、解題監(jiān)控

解題監(jiān)控就是解題者為了達到解題目標,對解題過程中的解題操作是否適宜、是否能夠得到問題的解決作出評估。在高中數學競賽的解題中,如果所執(zhí)行的解題操作有困難,或不能夠得到問題的解決,那么解題者必須調整當前的思維方式或思維對象,重新認識題目的條件和結論以及當前的問題解決狀態(tài),從而發(fā)現新的、有用的信息,改變解題思維策略,選擇新的解題方法。解題監(jiān)控也對解題的思路、方法和結果進行評判和檢驗,同時反思解題過程。

五、題后反思

題后反思即對解題的回顧與思考。反思是以自己的實踐過程為思考對象,對自己所做出的行動、決策以及由此產生的結果進行審視和分析。在這個環(huán)節(jié)中,解題者在問題解決的基礎上首先對解題的結果正確與否進行檢驗,然后對前面幾個解題思維階段進行思考。通過反思能使解題者找到解題思維受阻的原因,挖掘題目中的隱含信息,從不同的角度分析問題,優(yōu)化解題方法,從而能使解題過程更加簡捷合理。

一般而言,奧林匹克數學競賽的解題思維從對問題的表征開始,通過思維活動明確問題目標,然后根據問題所提供的信息并結合認知結構中的相關信息,分析找出當前狀態(tài)和目標狀態(tài)的差異和聯系,再根據這些差異和聯系提取相關信息,并逐漸找到消除差異的方法和途徑,直到消除差異到達目標狀態(tài),這一系列操作都是思維活動的結果。

在這個思維過程中,前四個思維階段并不一定是嚴格按照上述的順序進行的。由于奧林匹克數學競賽題的開放性和探究性,解題者的思維會經常從后一個階段返回到前面的階段,比如當思維進行到解決問題的階段,尋找解題方法感覺有困難時,可能會返回到表征問題或解析題目的階段,對問題的條件狀態(tài)和目標狀態(tài)進行重新理解,然后再用解題思維策略找到適當的解題方法。這四個思維階段相互之間又存在著交叉和滲透。問題表征的過程中需要對問題進行解析,同時表征又為進一步的解析提供線索。解析過程中可能有消除差異的操作,操作過程中如果不能順利達到目標或者思維受阻時,問題解決者可能需要回過頭來重新對問題進行表征和解析。在解題過程中,解題者都是圍繞著如何接近和達到解題目標而進行思維的,由此可見,解題監(jiān)控更是滲透于整個過程。但是,從整個思維過程來看,在奧林匹克數學競賽的解題思維過程中,一般都需要經過問題表征、解析問題、解決問題、解題監(jiān)控四個階段。

嚴格地講,在奧林匹克數學競賽的解題中,題后反思也是一個不可缺少的思維過程。題后反思對一道數學題的簡單解答來說也許不是一個必需的階段,但是對于奧賽題而言,一個題目完整的解答就要對題目的題解進行分析研究。通過解題的回顧思考不但能加深對題目的印象,而且對于增強解題效果、拓寬解題思路、積累解題經驗和提高解題能力都有著很大的幫助,也能在所解答的題目基礎上對問題進行推廣研究,這能培養(yǎng)學生的科學探索精神和創(chuàng)新能力,提高教師自身的科研能力。

參考文獻:

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[3] Zelazo P D,Cater A,Reznick J S,Frye D.Early development of executive function:A problem-solving framework[M].Review of General Psychology,1991.

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[6] 喻平.數學教育心理學[M].南寧:廣西教育出版社,2004.

[7] 張雄,李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8] 王勤勇.在數學解題教學中培養(yǎng)學生的反思意識[J].寧波大學學報(教育科學版),2002,24(2).

(作者單位:安徽省桐城師范學校)