陳宗銀

分類討論是人們常用的重要思想方法，無論是在生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，還是在日常的生活中，都常常需要用到它。這里我們重點(diǎn)研究初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想。

1. 分類討論思想的意義

有關(guān)初中數(shù)學(xué)中分類討論的原因本文歸納了以下幾個(gè)方面：由于問題涉及到分類討論思想的有關(guān)概念而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論；由于問題的題設(shè)和結(jié)論有多種可能情況而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論；由于問題中含有的參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論；由于問題中幾何圖形的不確定而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。

2. 分類的四大原則

2.1 同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)。

2.2 互斥性原則。分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)。

2.3 相稱性原則。分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

2.4 層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。

3. 分類討論的步驟

用分類討論思想解決問題的一般步驟是：

3.1 先明確需討論的對(duì)象及討論對(duì)象的取值范圍。

3.2 正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。

3.3 逐類討論解決。

3.4 歸納并作出結(jié)論。

4. 歸納需要分類討論的幾種常見例子

掌握用分類討論思想解題的關(guān)鍵，在于搞清楚哪些情況下會(huì)引起分類討論。下面就引起分類討論的一些常見情況作一歸納：

4.1 由于問題涉及到分類討論思想的有關(guān)概念而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。 有些數(shù)學(xué)概念是分類定義的（如實(shí)數(shù)的絕對(duì)值），所以應(yīng)用這些概念解題時(shí)，就需進(jìn)行分類討論。有些數(shù)學(xué)概念在下定義時(shí)已經(jīng)對(duì)所考慮的對(duì)象的范圍作了限制（如二次方程，求二次項(xiàng)系數(shù)不為零），當(dāng)解題過程的變換需要突破這些限制時(shí)，就必須分類討論。 例如：解方程|4x-4|-|2x+2|=14

解 ： 當(dāng)x≥1時(shí), 原方程化為 (4x-4)-(2x+2)=14, x=10

當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，原方程化為4 - 4x-2x-2=14，x=-2, 應(yīng)舍去.

當(dāng)x≤-1時(shí)，原方程化為4-4x+2x+2=14, x=-4

∴x=10或-4

說明: 若在x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí),若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解“應(yīng)舍去”. 絕對(duì)值概念是一個(gè)需要分類討論的概念，要講清這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的幾何意義說起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。4.2 由于問題的題設(shè)和結(jié)論有多種可能情況而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。 例如：解不等式 (a+1)x＞a²-1

如果不加區(qū)分a+1＞0或a+1＜0，得x＞a -1，那就不對(duì)了，因?yàn)榧瓤梢詀+1＞0，或a+1=0，也可以a+1＜0。不同的情況下a+1＞0有不同的答案。

當(dāng)a+1＞0 即a＞-1時(shí)，則x＞(a²-1) / (a+1)= a -1

當(dāng)a+1=0即a= -1時(shí)，原不等式為0?x＞0，故不等式無解

當(dāng)a+1＜0 即a＜-1時(shí)，則x＜(a²-1) / (a+1)=a-1

這里將a劃分成三類：a＞-1，a = -1，a＜-1

4.3 由于問題中含有的參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。

例如：

已知一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=k/x (k≠0)

4.3.1 k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)平面中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)？。

4.3.2 設(shè)(1) 中的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N，試比較∠MON與90°的大小。

本題第(1)小題求得k<16且k≠0；在解第(2) 小題時(shí)，由于090°。

4.4 由于問題中幾何圖形的不確定而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。

例如：已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有 個(gè)。

此題很容易漏解，原因是缺乏分類思想，因此在解題時(shí)要考慮各種可能的情況。和這兩個(gè)圓同時(shí)相切的圓可分為以下三類：同時(shí)外切（有兩個(gè)）；同時(shí)內(nèi)切（有1個(gè)）；以及一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切（有兩個(gè)）。故共有滿足條件的圓5個(gè)。 5. 如何避免分類討論

例如：如圖4，在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且a、b是方程x²-10x+18=0的兩個(gè)根，P是斜邊AB上的一點(diǎn)，過P作BC、AC的平行線，分別交AC、BC于D、E，設(shè)AP=x，矩形CDPE的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S。

簡解 ：由題意得a+b=10，ab=18，∴a²+b²+2ab=100，

又∵a²+b²=c²，可解得c=8，即AB=8，

又由題意DP/BC=AP/AB， PE/AC=PB/AB，

即DP/a=x/8， PE/b=(8-x)/8，

∴S=(8abx-abx²)/64=(-9/32)x² +(9/4)x。

很多學(xué)生根據(jù)方程x²-10x+18=0求出了a、b的長，再對(duì)a、b作分類討論，從而給解題帶來了相當(dāng)大的麻煩，結(jié)果反而弄錯(cuò)了，像這種可以整體處理的問題，不必作討論。

數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

參考文獻(xiàn)

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［3］ 彭林、刁衛(wèi)東：中考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)與規(guī)律探折?！吨行W(xué)數(shù)學(xué)》,2001?？?/p>

收稿日期：2009-04-20