屈惠鋒

在新人教版《電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系》一課教學(xué)中，教材中的結(jié)論是：在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿場(chǎng)強(qiáng)方向的兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于場(chǎng)強(qiáng)與這兩點(diǎn)的距離的乘積。本文利用教材中的推理過(guò)程探討以下三個(gè)實(shí)用的結(jié)論。

推論1 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不與場(chǎng)強(qiáng)方向垂直的任意一條直線上，各點(diǎn)間的電勢(shì)差之比等于對(duì)應(yīng)各點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度之比。

證明 圖1表示一勻強(qiáng)電場(chǎng)中的一組電場(chǎng)線，A、B、C為不與場(chǎng)強(qiáng)垂直的一直線上的三點(diǎn)，設(shè)直線與電場(chǎng)線的夾角為θ，場(chǎng)強(qiáng)為E，把正電荷q由電場(chǎng)的A點(diǎn)依次移到B、C兩點(diǎn)，由做功的定義式得：

W〢B=qE〢B猚osθ，W〣C=qE〣C猚osθ；①

在電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做功：

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〣C；②

由①②式得：

U〢B猆〣C=〢B〣C。

如果我們總結(jié)了推論1，對(duì)于處理勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電勢(shì)差問(wèn)題和尋找等勢(shì)點(diǎn)問(wèn)題就有據(jù)可尋，求解電勢(shì)高低、大小就方便多了。

例1 如圖2，方框內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，A、B、C為該電場(chǎng)中的三點(diǎn)，已知φ瑼=12V，φ瑽=6V，φ瑿=-6V，試在該方框中做出該電場(chǎng)線的示意圖（即畫出幾條電場(chǎng)線），并要求保留作圖時(shí)所用的輔助線(用虛線表示)。若將一個(gè)電子從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做多少電子伏的功?

解析 本題依據(jù)推論1從任意兩點(diǎn)的連線上找到第三個(gè)點(diǎn)的等勢(shì)點(diǎn)，連接即可得到等勢(shì)線，電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直。

如圖3連接AC，

U〢C=φ瑼-φ瑿=12-（-6）V=18V；

U〢D=φ瑼-φ璂=13U〢C，φ璂=6V。

故得φ璂=φ瑽=6V，連接BD得一條等勢(shì)線，再做垂直BD的一組平行線，由沿電場(chǎng)線方向的電勢(shì)降低可確定場(chǎng)強(qiáng)的方向。

將電子從A移到B，電場(chǎng)力做功為：

W=-eU〢B=-e(12-6)V=-6eV。

例2(2008年?海南物理第6題) 勻強(qiáng)電場(chǎng)中有a、b、c三點(diǎn)。在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，∠a=30°，∠c=90°，電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行。已知a、b和c點(diǎn)的電勢(shì)分別為（2-3）V、（2+3）V和2V，該三角形的外接圓上最低、最高電勢(shì)分別為（ ）

A.(2-3)V、(2+3)V；

B.0V、4V；

C.(2-433)V、(2+433)V；

D.0V、3V。

解析 由推論1得，如圖5，ab的中點(diǎn)d電勢(shì)為2V，連接cd即得為一條等勢(shì)線，做cd的垂線ef交圓上e、f兩點(diǎn)，沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降落最快，即e點(diǎn)電勢(shì)最低，f點(diǎn)電勢(shì)最高，由：

E=Uヾb猂cos30°=2R，Uヾe=ER=2V；

又Uヾe=ψ璬-ψ璭得：ψ璭-Uヾe=0。

同理：ψ璮=ψ璬+Uゝd=4V；

選B。

推論2 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不與場(chǎng)強(qiáng)垂直的任意兩條平行線段的端點(diǎn)電勢(shì)差之比等于線段長(zhǎng)度之比。

證明同推論1，如圖6，設(shè)兩線段與場(chǎng)強(qiáng)方向的夾角為α，將q分別從A移到B，C移到D的過(guò)程中，電場(chǎng)力做功有：

W〢B=qE〢B猚osα，W〤D=qE〤D猚osα；①

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〤D；②

聯(lián)立①②式得：U〢B猆〤D=〢B〤D。

理解掌握了推論2，若兩平行線長(zhǎng)度相等即得兩線段端點(diǎn)的電勢(shì)差相等。則07年的全國(guó)理綜Ⅰ卷的第20題和1999年全國(guó)高考題就很快得解。

例3（2007年?全國(guó)Ⅰ） a、b、c、d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的四個(gè)點(diǎn)，它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)。電場(chǎng)線與矩形所在平面平行。已知a點(diǎn)的電勢(shì)為20V，b點(diǎn)的電勢(shì)為24V，d點(diǎn)的電勢(shì)為4V，如圖7所示。由此可知c點(diǎn)電勢(shì)為（ ）。

A.4V B.8V

C.12VD.24V

解析 由推論2得：

U゛d猆゜c=゛d゜c=1，即U゛d=U゜c；

φ璦-φ璬=φ璪-φ璫；

φ璫=φ璬+φ璪-φ璦=4+24-20V=8V；

因此，選B。

例4 如圖8所示的A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為1V、6V、9V，則D、E、F三點(diǎn)的電勢(shì)分別是多少？

解析 由推論2得：因?yàn)锳B∥FC∥ED，且AB∶ED∶FC=1∶1∶2，

則有2U〢B=U〧C=φ璅-φ瑿，得：

φ璅=2U〢B+φ瑿=-1V；

同理：

U〣C=U〧E=φ璅-φ璄，φ璄=U〣C+φ璅=2V；

U〢B=U〦D，φ璂=（5+2）V=7V。

推論3 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不與場(chǎng)強(qiáng)垂直的兩條線段端點(diǎn)電勢(shì)差之比等于線段沿電場(chǎng)線方向投影長(zhǎng)度之比。

證明：如圖9，線段AB、CD分別與電場(chǎng)線相交，且AB與電場(chǎng)線的夾角為α，CD與電場(chǎng)線的夾角為β，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為E，將電荷q從A點(diǎn)移到B，從C移到D，那么：

qE〢B猚osα=qU〢B，qE〤D猚osβ=qU〤D；

則，兩式相比得：

U〢B猆〤D=〢B猚osα〤D猚osβ=〦B〤F。

結(jié)論得證。

例5 如圖10所示，是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的一組等勢(shì)面。若A、B、C、D相鄰兩點(diǎn)間的距離都是2cm，則電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為_(kāi)___V/m。到A點(diǎn)距離為1.5cm的P點(diǎn)電勢(shì)為_(kāi)___。

解析 由推論3可得：

E=U〣A猟=U〣A狝Bsin60°=33×103V/m；

U〢B猆㏄B=〢B猻in60°㏄B猻in60°=〢B㏄B=4；

代入數(shù)據(jù)得：

U㏄B=-10×14=-2.5V。

以上三個(gè)推論，都是受教材啟發(fā)而得到的實(shí)用結(jié)論，對(duì)解決勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電勢(shì)差、電勢(shì)、電場(chǎng)力做功、電勢(shì)能高低的判斷等方面比較容易、簡(jiǎn)捷。從近幾年的高考來(lái)看，電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系仍是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，如2008年海南物理第6題、2007年全國(guó)Ⅰ第20題、2007年北京理綜第22題、2007年廣東物理第3題、2004年上海第6題等，命題者在編制題目時(shí)往往會(huì)設(shè)置新情景結(jié)合幾何圖線或圖形考查，其難度屬于中等偏易，若能理解并應(yīng)用教材中的推理過(guò)程，總結(jié)規(guī)律，將大大的提高我們的解題速度。

(欄目編輯鄧 磊)