劉斌政

一、數(shù)學(xué)開放式教學(xué)的內(nèi)涵

所謂“開放”，是指根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，把數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)識與建構(gòu)數(shù)學(xué)的活動和學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容之間相互作用等幾個方面的開放.結(jié)合現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)和建構(gòu)主義理論，筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)開放式教學(xué)是以數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)為綱要，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為載體，發(fā)展學(xué)生能力為本位，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為原則的教學(xué)，通過數(shù)學(xué)教學(xué)，充分提高學(xué)生的主體性，不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且要教給學(xué)生建構(gòu)知識的方法和過程，即不僅要“教知識”，而且要“教思考”、“教猜想”（G.波利亞語）.在教學(xué)中，貫徹分層教學(xué)的原則，讓學(xué)生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣，選擇不同的教學(xué)并得到發(fā)展，具備較好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生能夠積極參與數(shù)學(xué)活動，使得有進(jìn)一步的發(fā)展機會；而較低者也能參與數(shù)學(xué)活動，完成幾項特殊的任務(wù)，獲得必需的數(shù)學(xué)知識和提高思維能力.

二、數(shù)學(xué)開放式教學(xué)案例二則

案例一 二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

教學(xué)設(shè)計：

1.引言（“T”：教師，“S”：學(xué)生）

T：我們課外要求請各小組通過查閱資料，對一元二次方程的解法、一元二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次不等式的解法進(jìn)行分類整理和總結(jié)歸納，現(xiàn)在通過投影儀來展示各小組的成果.

投影例舉：

一元二次方程的解決

（1）因式分解法

（2）十字相乘法

（3）開方法

（4）求根公式法等

一元二次函數(shù)的性質(zhì)

（1）圖象性質(zhì)：對軸、頂點、圖象形狀；

（2）單調(diào)性

（3）奇偶性

（4）最大值或最小值

一元二次不等式解法

（1）因式分拆法

（2）區(qū)間分析法

2.探索

T：我們利用上述學(xué)過的方法，來實踐一下：

例1 （1）解方程：x²-x-6=0;

（2）解不等式:x²-x-6＞0,x²-x-6＜0;

（3）作二次函數(shù)y=x²-x-6的圖象.

在探索的過程中，從學(xué)生舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，引出相互之間的矛盾.

T：我們解決了上述問題，你能分析（1）、（2）、（3）之間的聯(lián)系嗎？這里解決的是一元二次方程和一元二次不等式，實質(zhì)上是一元二次函數(shù)的特殊情況，并為以下解決二次函數(shù)的變化引起方程和不等式的變化作鋪墊.

例2 已知二次函數(shù)y=x²-x-m,試問：隨著m的變化，二次函數(shù)的圖象如何變化？方程x²-x-m=0與不等式x²-x-m＞0和不等式x²-x-m＜0也將如何變化？

這是探索過程中關(guān)鍵性的問題，存在字母必然聯(lián)系分類討論，而分類的要點是圖象與x軸的交點情況，這些正是本節(jié)課的疑惑所在.

3.歸納

T：根據(jù)上面的結(jié)論，你能得出一元二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間存在的一般性結(jié)論嗎？請各小組討論，10分鐘后提交組總結(jié)發(fā)言稿，進(jìn)行展示.

教師進(jìn)行評價各組成果，強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法在實踐的運用，同時逐一澄清錯誤，并進(jìn)行糾正.

4.小結(jié)

讓學(xué)生根據(jù)自己探索和歸納過程，回顧和整理這節(jié)課主體思路.

5.作業(yè)

已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x²+4mx+3m-2,試問：根據(jù)m的不同取值，你能得出多少結(jié)論？

作業(yè)設(shè)計的目的是增加開放度，使不同層次的學(xué)生都嘗試功.

案例二 異面直線的夾角（例題教學(xué)）引言

T：我們已經(jīng)學(xué)了異面直線、異面直線所成角的定義，現(xiàn)在我們運用所學(xué)的知識來解決下面的問題.

例3 如圖（1）所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱、正方體面對角線（如BD）和正方體對角線（如A₁C）之間，

問題1：你能找出幾類異面直線，并各有幾對？

設(shè)計該問題，是讓學(xué)生在舊知識異面直線判斷的基礎(chǔ)上，激勵學(xué)生的思維，同時，自然的引導(dǎo)學(xué)生作異面直線所成的角.

問題2：你能對這些異面直線所成角的作法進(jìn)行歸類？

這問題是本例教學(xué)中的重點難點，是激發(fā)學(xué)生空間想象和思維活動的全方位展開，從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，層層深入，獲得學(xué)習(xí)的過程和方法.

問題3：你能求這些異面直線所成的角嗎？

這時已水到渠成，學(xué)生已能從復(fù)雜的空間圖形中分離出平面圖形，通過解三角形能順利的求解.

本例題是以正方體為知識載體,通過找異面直線所成角,作異面直線所成角,求異面直線所成的角,充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能.從上述源問題與子問題的關(guān)系，通過學(xué)生去實踐操作，同時把正方體空間圖形進(jìn)行多媒體的演示，突出思維能力訓(xùn)練和空間想象能力的培養(yǎng).

三、數(shù)學(xué)開放式教學(xué)案例的分析

案例一的教學(xué)設(shè)計是通過學(xué)生課外收集資料、圖象觀察、式的變化與圖的變化，開放課外和課堂學(xué)生數(shù)學(xué)活動，再引入開放性問題來深化學(xué)生思維，在歸納出一般性結(jié)論后，留給學(xué)生繼續(xù)思考和探討，來實現(xiàn)開放式教學(xué).

由于教學(xué)由“探索”及“歸納”這兩個環(huán)節(jié)組成，每個教學(xué)環(huán)節(jié)必須有一定的時間保證，讓學(xué)生通過觀察圖象變化，進(jìn)行充分思考、討論直到完全解決問題.該課題涉及情況較多，需要分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，解決該問題有較多的層次性和延伸性，需要小組甚至與班同學(xué)共同合作完成，以便更好地利用時間的空間，改變灌輸?shù)膯我唤虒W(xué)形式，促使各層次學(xué)生相互合作、相互協(xié)調(diào)，達(dá)到共同發(fā)展的目標(biāo).為實現(xiàn)這些構(gòu)想，該課例采用了小組合作探索的開放性內(nèi)容來進(jìn)行開放式教學(xué)，把數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的靈魂，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容逐漸滲透，逐步形成普遍規(guī)律，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo).

案例二的教學(xué)設(shè)計是在認(rèn)知規(guī)律的導(dǎo)行下，把貫穿全課的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的設(shè)計成“問題源”，在問題中融入“概念的層層深入”與“總結(jié)歸納解決問題的方法”，確立課堂教學(xué)的主題.在學(xué)生的主動參與下，剝蠶抽絲地把問題點到主題上來，而教師的主導(dǎo)性體現(xiàn)在自成系統(tǒng)的教學(xué)過程中，一方面，把教學(xué)的“信息源”發(fā)送到每個學(xué)生；另一方面，及時把學(xué)生傳輸過來的信息，及時的矯正，及時得到有效的控制，促使教學(xué)過程優(yōu)化，實現(xiàn)教與學(xué)的最佳組合.

通過層層深入，擴(kuò)散學(xué)生的思維，構(gòu)建一個清晰的思維空間，通過歸類分析，達(dá)到明確的目標(biāo).讓學(xué)生在問題的解決過程中，體驗到數(shù)學(xué)探索與發(fā)現(xiàn)的樂趣，感受到數(shù)學(xué)魅力，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，案例二是以開放題為切入口的開放式教學(xué).

四、數(shù)學(xué)開放式教學(xué)案例的思考

思考1：數(shù)學(xué)開放式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).

由于數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動的開展，因此數(shù)學(xué)課堂上主要是創(chuàng)設(shè)問題情境，激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué).在數(shù)學(xué)開放式教學(xué)中，突出了學(xué)生主體地位和思維能力的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).在教學(xué)設(shè)計過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計教學(xué)的開放形式，如在問題設(shè)計中，考慮能使學(xué)生通過動腦、動手、動口積極參與數(shù)學(xué)思維活動，也能使各層次的學(xué)生都有所獲得，同是能使學(xué)生逐步深入到問題的本質(zhì).

思考2：數(shù)學(xué)開放式教學(xué)應(yīng)努力遵循的原則.

適時性原則，數(shù)學(xué)開放式教學(xué)重視從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，通過對事物和具體模型的感知與操作，獲得數(shù)學(xué)知識和能力.因而，在設(shè)計開放式教學(xué)中，必須把握問題的入口與出口，使每個問題都可以原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中進(jìn)行構(gòu)建；層次性原則，數(shù)學(xué)開放式教學(xué)把教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建一個多層次的立體模式，把不同層次和不同需要的學(xué)生，在原有的知識和能力的基礎(chǔ)上都有所獲得；動態(tài)性原則，教學(xué)內(nèi)容的處理，把深層次的數(shù)學(xué)思想方法在問題中充分體現(xiàn)，使得教學(xué)內(nèi)容活起來，在教學(xué)中，讓學(xué)生對問題從不同角度用不同的方法進(jìn)行全面的思考，使學(xué)生的思維活動起來，教師在課堂上解決問題的突發(fā)性和靈活性；探索性原則，數(shù)學(xué)開放式教學(xué)的設(shè)計，大多富有探索性，把教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)探索情境，提出開放性問題，或通過常規(guī)題改造成開放題進(jìn)行探索.

思考3：數(shù)學(xué)開放式教學(xué)與合作意識的培養(yǎng).

在群體中，每個人都有每一個人的長處，每個人都可以找到自己的參照進(jìn)取目標(biāo).因此，進(jìn)行分組討論式的教學(xué)，發(fā)揮互補式的交住，樹立集體觀念和互幫互學(xué)的合作意識，使每個人都能為集體目標(biāo)的實現(xiàn)盡心盡力.同時不斷向?qū)W生傳授合作的基本技能，使他們學(xué)會既善于積極主動地發(fā)現(xiàn)自己的意見，敢于說出不同的看法，又善于傾聽別人的意見，相互啟迪，并能夠綜合吸收各種不同的觀點，共同尋找解決問題的思路.在具體實施過程中，教師要及時地有針對性地予以指導(dǎo)，訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成良好的合作學(xué)習(xí)習(xí)慣.