摘要：開放題是極富于教育價(jià)值的一類問題。盡管數(shù)學(xué)開放題已出現(xiàn)在中考、高考試卷上，但開放題的教學(xué)還有待進(jìn)一步深入。本文闡述了數(shù)學(xué)開放題的概念，分析了開放題教與學(xué)的現(xiàn)狀，對(duì)如何加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)展開論述，并舉出具體例子加以說明。強(qiáng)調(diào)開放題不是僅僅作為一種習(xí)題形式，而是作為一種教學(xué)思想，應(yīng)滲透到平時(shí)的教學(xué)中。希望能有助于數(shù)學(xué)開放題教學(xué)進(jìn)一步深入教育改革，充分發(fā)揮其教育價(jià)值。

關(guān)鍵字：開放題，教育功能，教學(xué)現(xiàn)狀

一、引言

隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)教育觀念也在逐漸轉(zhuǎn)變。越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者已明確了教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是使其掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)使其認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)分析和解決問題的能力。“問題解決”也因此成為數(shù)學(xué)教育的核心。而這里所謂“問題”除了常規(guī)問題之外，更重要的是指那些答案并非直接了當(dāng)?shù)姆浅Ｒ?guī)問題，包括實(shí)際問題和來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，而開放題則是極富于教育價(jià)值的一類問題。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型。為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，我們有必要對(duì)數(shù)學(xué)開放題的教與學(xué)的情況進(jìn)行研究和實(shí)踐。

二、數(shù)學(xué)開放題的概念

“數(shù)學(xué)開放題”并非是已經(jīng)審定的規(guī)范數(shù)學(xué)名詞，關(guān)于開放題的概念，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，主要有以下幾種描述：(1) 凡是具有完備的條件和固定的答案的習(xí)題，我們稱為封閉題，而答案不固定或者條件不完備的習(xí)題，我們稱為開放題。(2)具有多種不同的解法或有多種可能的解答的問題稱為開放性問題。(3)開放題是條件多余需選擇，條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的問題。(4)答案不唯一的問題稱為開放題。

考查以上論述，關(guān)于開放題的條件的描述有：不完備；可以多余；多余需選擇，不足需補(bǔ)充等。關(guān)于開放題的答案（結(jié)論、解法）的描述有：不固定；有多種；不唯一；不必唯一；不確定；不必有解等。

三、數(shù)學(xué)開放題的教育功能

1. 開放性教學(xué)能真正體現(xiàn)建構(gòu)觀的教學(xué)思想

在開放性數(shù)學(xué)教學(xué)中，寬松、民主的課堂氣氛有助于激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)；開放性問題具有一定的挑戰(zhàn)性，有較強(qiáng)的刺激因素，能形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。開放性問題涉及的知識(shí)是學(xué)生已經(jīng)具備的，但解題策略是非常寬的，沒有固定的模式可循，要求學(xué)生構(gòu)建他們自己的思路與策略，而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。在解決問題過程中要求學(xué)生把原來的知識(shí)、技能重新組合，以形成解決目前問題的一種整體技能，或者對(duì)原來的技能進(jìn)行修正以解決目前的問題。這樣可提高學(xué)生的建構(gòu)能力，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中側(cè)重于解決問題的思路和策略，側(cè)重于思考的過程而不是簡(jiǎn)單的答案，學(xué)生能充分地展現(xiàn)自我，人人都得到不同程度的發(fā)展。

2. 培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素

開放性教學(xué)打破師道尊嚴(yán)，講究師生平等，教師對(duì)學(xué)生的思維預(yù)先設(shè)置的限制減少了，符合中學(xué)生的自我意識(shí)的心理特征，便于學(xué)生充分發(fā)揮自己的個(gè)性，為學(xué)生提供了具有開放性和選擇性的發(fā)展空間，有利于促進(jìn)學(xué)生的興趣、動(dòng)機(jī)、情感、意志、性格等非智力因素的健康發(fā)展。

3. 促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展

開放性教學(xué)給學(xué)生提供了更多的數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，不僅鼓勵(lì)學(xué)生讀書、寫作業(yè)，而且讓學(xué)生去聽去講，去傾聽別人的想法，說出自己的想法，把自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)以動(dòng)作、實(shí)物、口頭語或書面語、兒童語言或數(shù)學(xué)符號(hào)化的形式表達(dá)出來，并進(jìn)行交流。有利于促進(jìn)學(xué)生思維、語言、個(gè)性全面發(fā)展。

四、開放題教與學(xué)的現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)開放題進(jìn)入高中課堂具有其現(xiàn)實(shí)意義。高中課堂上已嘗試引入開放題，著重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，通過習(xí)題教師啟迪學(xué)生拓展思維，培養(yǎng)學(xué)生解決這類題的能力。高中教師在教授數(shù)學(xué)開放題方面的現(xiàn)實(shí)狀況主要從以下幾個(gè)方面入手：

1. 培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性方面

數(shù)學(xué)開放性問題在培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性方面有其獨(dú)特的作用，可以使學(xué)生在解題過程中形成積極探索和創(chuàng)造的心理態(tài)勢(shì)，對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，進(jìn)而生動(dòng)活潑地參與“做數(shù)學(xué)”的過程，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效發(fā)展。

例如，奇偶性、單調(diào)性和周期性是函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，課本及參考資料多是判斷函數(shù)是否具備某性質(zhì)或已知函數(shù)具備某性質(zhì)要素進(jìn)行求解、求證，習(xí)題類型多有雷同。教師在函數(shù)三性質(zhì)學(xué)習(xí)后讓學(xué)生解決下列問題：

的解析式。

了啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問題，教師畫出了f(x) =|sinx| 的圖像，由圖像展開聯(lián)想，啟發(fā)同學(xué)從滿足三個(gè)性質(zhì)的學(xué)又寫出了幾個(gè)用分段函數(shù)表示的符合題意的函數(shù)。針對(duì)學(xué)生給出的解答，教師集中作了講評(píng)，并進(jìn)一步拓展他解的層層深入，學(xué)生的思路越來越開闊，思維的靈活性和發(fā)散性得到了培養(yǎng)。

2. 利用“數(shù)學(xué)開放性問題”實(shí)施因材施教教育

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解的差異及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的差異是客觀存在的，數(shù)學(xué)教學(xué)要在承認(rèn)這種差異的基礎(chǔ)上進(jìn)行，并且為每個(gè)學(xué)生創(chuàng)造可以施展才華的空間。

例如在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式之后，給學(xué)生提出了這樣的問題：

問題2關(guān)于正整數(shù)數(shù)列3，9，…，2 187，…，問2 187是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？

由于本問題沒有指明正整數(shù)數(shù)列具體是什么數(shù)列，學(xué)生可以根據(jù)自己的理解和經(jīng)驗(yàn)假定是等差、等比或構(gòu)造成其他什么數(shù)列，教師可以從學(xué)生的解答中看出他們的基礎(chǔ)與能力的差異，進(jìn)而進(jìn)行因材施教。

由于剛學(xué)過等差、等比的通項(xiàng)公式，多數(shù)同學(xué)自然而然地想到從等差或等比數(shù)列去考慮，很快得到： (1)設(shè)數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列，2 187是數(shù)列的第365項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，2 187是數(shù)列的第7項(xiàng)，這是直接運(yùn)用剛學(xué)過的知識(shí)解決問題。對(duì)于極少數(shù)不知如何下手的同學(xué)，教師及時(shí)給予啟迪，幫助他們分析問題的原則要求是什么，應(yīng)該如何補(bǔ)充條件能確定數(shù)列的項(xiàng)，具體怎樣做則讓他們自己完成；而對(duì)于已經(jīng)給出一個(gè)答案的同學(xué)則進(jìn)一步要求他們看一看解答是否是確定的，為什么？一小部分同學(xué)給出了多個(gè)正確答案，此時(shí)，教師則及時(shí)鼓勵(lì)他們寫出每種情況下數(shù)列的通項(xiàng)公式，把思維層次提高到新的水平。經(jīng)過20分鐘的師生交流討論，同學(xué)們給出了很多解答，其中既有模仿已經(jīng)知道的數(shù)列，又有運(yùn)用剛學(xué)過的知識(shí)，也有靈活的“投機(jī)”，更有創(chuàng)造性的巧妙構(gòu)造。

以上問題的解決起點(diǎn)低，同學(xué)容易參與進(jìn)來，但不同的學(xué)生提出的問題，思考的方法及得到的結(jié)果不盡相同，解決問題的程度也有差異，顯示出開放性問題具有較強(qiáng)的可用性和層次性，可以比較方便地用于實(shí)施因材施教。

七、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教育要改革，要成為可持續(xù)發(fā)展的教育，學(xué)數(shù)學(xué)必須與做數(shù)學(xué)、做活的數(shù)學(xué)結(jié)合起來，在這一方面開放題教學(xué)正在成為我國(guó)數(shù)學(xué)教育的新的增長(zhǎng)點(diǎn)。加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)是時(shí)代的呼喚。教育發(fā)展的歷史就是教學(xué)模式優(yōu)化的過程，開放題教學(xué)如何與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育相結(jié)合，如何形成符合時(shí)代要求的數(shù)學(xué)教學(xué)新模式，這將是擺在我們面前的一個(gè)新問題。

參考文獻(xiàn)

[1]戴再平，倪明等.高中數(shù)學(xué)開放題集[M].上海：上海教育出版社，2000.

[2]王慧斌.數(shù)學(xué)教學(xué)新方法:開智法簡(jiǎn)介[J].外國(guó)教育資料，1988(1).

[3]姚祥尹.應(yīng)用開放題是數(shù)學(xué)教育的新趨勢(shì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000(5).

[4]張遠(yuǎn)增.對(duì)數(shù)學(xué)開放性問題的認(rèn)識(shí)及其教學(xué)嘗試[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2000（6）.

（遼寧文化藝術(shù)職工大學(xué)）