梁清建

【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)教學(xué)必須要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，要確立數(shù)學(xué)思想的主體地位，進(jìn)而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析和解決問(wèn)題的能力，以及提高學(xué)生的創(chuàng)新精神。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 解題 方程思想

數(shù)學(xué)思想較數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有更高的層次和地位，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。

每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想對(duì)解決什么問(wèn)題有效，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析和解決問(wèn)題的能力。筆者現(xiàn)就初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、方程思想的運(yùn)用

所謂方程思想，就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)設(shè)定未知數(shù)，把問(wèn)題中的已知與未知量的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，然后利用方程的理論或方法，使問(wèn)題得到解決。用方程思想分析、處理問(wèn)題，思路清晰，靈活、簡(jiǎn)便。

用方程思想的核心是揭示題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)、構(gòu)造方程，溝通已知與未知的聯(lián)系，從而使問(wèn)題得到解決。

二、數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的概念，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系；而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述，所以數(shù)形結(jié)合也就成為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法。也就是說(shuō)教師、學(xué)生都要投入到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)。學(xué)生的參與尤其重要，如果沒(méi)有學(xué)生的積極參與，這樣的教學(xué)活動(dòng)絕不會(huì)是成功的。如定理教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。如何使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的形成過(guò)程、定理證明思維來(lái)歷，特別是輔助線的添加方法一直是教學(xué)中研究的重點(diǎn)。

在《三角形中位線定理》一節(jié)課的教學(xué)中，我們運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)手段，采用《幾何面板》軟件，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)理想的情境，所畫(huà)的三角形可以任意變化，（體現(xiàn)定理對(duì)于任意三角形都成立）可測(cè)算出一組同位角始終相等，中位線的長(zhǎng)是第三邊長(zhǎng)的一半。學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)圖形的觀察很容易得到定理的結(jié)論。定理的證明實(shí)質(zhì)是經(jīng)過(guò)平移變換或旋轉(zhuǎn)變換，將三角形圖形轉(zhuǎn)化為平行四邊形而證明的。（幾何畫(huà)板）能很好地演示上述過(guò)程。所以，定理的證明思路、輔助線的添加方法都顯得十分自然。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極地參與，整個(gè)教學(xué)過(guò)程是學(xué)生的思維步步深入的過(guò)程，達(dá)到了理想的教學(xué)效果。

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想。在解題方法上，“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用分為兩種情形:一種是借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，即“以數(shù)論形”；另一種是借助于形的幾何直觀性來(lái)表示數(shù)之間的某些關(guān)系，即“以形促數(shù)”。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，易于尋找解題途徑，可避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

三、分類討論思想運(yùn)用

分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)的研究對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。正確應(yīng)用分類思想，是完整解題的基礎(chǔ)。例如，在學(xué)了角的比較大小后，對(duì)于小于平角的角分為銳角、直角、鈍角三類，就是分類思想的體現(xiàn)。同一類事物按不同標(biāo)準(zhǔn)可進(jìn)行不同的分類，但在同一標(biāo)準(zhǔn)下必須做到不重、不漏。

把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實(shí)際上是一種“分而治之，各個(gè)擊破”的策略。其步驟為:

1.確定分類對(duì)象—理解分類概念；

2.恰當(dāng)合理分類—掌握分類原則；

3.逐步逐級(jí)討論—學(xué)會(huì)分類方法；

4.綜合概括敘述—培養(yǎng)邏輯思維。

分類討論的原則是:對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；分層次，不越級(jí)；不重復(fù),不遺漏。

有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中之所以占有重要位置，原因是它具有明顯的邏輯性特點(diǎn)，能很好地訓(xùn)練一個(gè)人的思維的條理性和概括性。

四、轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用

復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解，未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題來(lái)解……數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是在不斷的轉(zhuǎn)化中達(dá)到解決目的。同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于觀察的角度不同，對(duì)問(wèn)題的分析、理解的層次不同，可以導(dǎo)致目標(biāo)的不同與解題方法的不同，但目的只有一個(gè)—盡量做到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體。

轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果是互相可推的。但事實(shí)上并不是所有的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的，因此，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性，如出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化，則需附加約束條件。

總之，數(shù)學(xué)思想反映著數(shù)學(xué)概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。任何數(shù)學(xué)難題的解決無(wú)不以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，以數(shù)學(xué)方法為手段。數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂，是教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)，是課堂教學(xué)的統(tǒng)帥，是解題思維的指南。把數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓—數(shù)學(xué)思想方法納入基礎(chǔ)知識(shí)的范疇，是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)重要舉措。隨著對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究的深入，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)施，必將進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。