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        正難則反 巧解題

        2009-01-01 00:00:00馬海濱
        新課程學習·上 2009年5期

        說活做事都得講究策略。策略對路,事半功倍。解數(shù)學題也不例外,這里給同學們講一種有效的解決數(shù)學難題的策略——正難則反。

        先請同學們來聽個故事吧。據(jù)說春秋戰(zhàn)國的孫臏,龐涓兩人文武雙全,才華過人啊。國君為了測試這二位才子的智商,特別舉行了一次新穎別致的面試。他讓文武大臣們站立兩旁,孫臏與龐涓二人跪在臺前,他坐在臺上說:“孫臏,龐涓你們誰能讓我從臺上走到臺下,誰的智商就高。”

        諸位大臣面對出乎預料的考題,既覺得新鮮有趣,又為兩人捏了把汗,國君豈能由大臣來調遣。左看孫臏冷靜自如,無答意。右眺龐涓急躁苦思,不好解。前瞅國君趾高氣揚,好得意。正當國君認為孫,龐二位才能平平,將要退朝之時,孫臏才回答:“叩見大王,臣無能讓大王從臺上走到臺下,但有妙計能使大王從臺下走到臺上。”國君聽后,立刻起坐,且說:“我就不信,你真能有此本領。”隨即離開寶座,來到臺下。此時,孫臏突然大笑起來,國君一驚,猛醒中了“調虎離山計”。文武大臣們竊竊私語,個個稱贊孫臏才華高人一等。

        孫臏的確很聰慧,面對國君的問題,他深知從正面思考,勞而無功,改道反向思考,即改“由上而下”為“由下而上”,使國君自然而然地起立走向臺下,從而使問題得到巧解。我們在解決數(shù)學問題時,如果從條件出發(fā),正面考慮,既難又繁,不妨調整思考方向,轉向從結論出發(fā)或反面考慮問題,這就叫做“正難則反”。請看:

        例1,從1,3,9,27,81,243這6個給定的數(shù)中,每次取1個,或取幾個不同的數(shù),求和(每個數(shù)只能取一次),可以得到一新數(shù),這樣共得63個新數(shù),如果把它們從小到大依次排列起來是1,3,4,9,10,12…那么第60個數(shù)是多少?

        思路簡析:本趣題如果從正面(即從小到大)考慮,要算出第60個數(shù)較為困難,如果調整思考的方向,從大到小,問題啊,很快就可解決。

        題中,共有63個數(shù),從小到大排列到第60個數(shù),恰好是從大到小攤的第4個數(shù),由題意可知,第63個數(shù)是1+3+9+27+81+243=364,于是,第62個數(shù)應是364-1=363,第61個數(shù)是364-3=361,第60個數(shù)就是364-3-l=360。就這樣問題很輕松地得以解決啦。

        例2,將50分拆成10個質數(shù)之和,要求其中最大的質數(shù)盡可能大,那么最大的質數(shù)是多少?

        思路簡析:本題如果從問題“最大”著手的話,需要采用嘗試法。即先寫出一個較大的質數(shù),再檢驗它是否符合題意。這樣就需要嘗試很多次才能得到正確的答案。如果從反面去想,要求其中最大的質數(shù)盡可能大,那么其他的質數(shù)就應該盡可能小,最小質數(shù)是2,如果9個質數(shù)都取2,那么50-9×2=32,32不是質數(shù)。需調為50-8×2-3×1=31。你看本來很難的題,現(xiàn)在不也是很輕松地就得到了答案了嘛。即這個最大的質數(shù)是31。

        看了上面我介紹的兩題你是不是手也癢癢的啊,也想一試身手啊,那好來吧,請看下面幾題:

        1 由1000個體積為1立方厘米的小立方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大立方體,表面涂上油漆后再把它分開為原來的小立方體,這些小立方體中至少有一面被油漆涂過的有多少個?

        2 在1,2,3…104,105中與105互質的自然數(shù)共有多少個?

        3 有128個選手參加乒乓球單打比賽,比賽采取單淘汰制,為了決出冠軍一名,共需要進行多少場比賽?

        您不妨親身感受一下我所介紹的階梯技巧,也許還會有意外的驚喜哦!

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