[摘要] 本文研究導(dǎo)數(shù)對利潤、收入、成本、批量、稅收等經(jīng)濟問題進行了優(yōu)化分析。

[關(guān)鍵詞] 利潤 收入 成本 批量 稅收 應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究由自變量變化引起的函數(shù)變化的快慢程度問題的。然而在經(jīng)濟工作中，都可歸結(jié)為求某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。本文對此進行分析和研究。

一、最大利潤問題

例1已知總收入和總成本分別為R=41.5Q-1.1Q2，C=150+

10Q-0.5Q2+0.02Q3，求使總利潤達到最大值的產(chǎn)量。

解 依題意企業(yè)總利潤函數(shù)為

L=R－C=41.5Q－1.1Q2－150－10Q+0.5Q2－0.02Q3

=-150+31.5Q－0.6Q2－0.02Q3

令L＇=31.5-1.2Q－0.06Q=0解得Q1=15，Q2=-35(舍去）

又L＂=-1.2-0.12Q所以 L＂(15)＜0

從而在以上相關(guān)條件下，當(dāng)產(chǎn)量為15個單位時，總利潤達到最大值。

二、最大收入問題

例2．某企業(yè)每月生產(chǎn)甲、乙兩種不同產(chǎn)品為X和Y噸，X和Y之間滿足關(guān)系式

如果甲種產(chǎn)品的價格是乙種產(chǎn)品價格的一半，問每月生產(chǎn)多少噸甲種產(chǎn)品和乙種產(chǎn)品，能使企業(yè)獲得最大收入。

解 設(shè)甲產(chǎn)品的價格為a，則乙產(chǎn)品的價格為2a，總收入為R

則

令

即有x2-20x+80=0

解得

不難驗證x1，x2都是函數(shù)的極值點，因此

當(dāng)時，有

則

當(dāng)時，有

則

比較兩個R的值可知，取因此當(dāng)甲乙產(chǎn)品各生產(chǎn)14.472或7.236噸時，企業(yè)能獲得最大收入。

三、最低成本問題

例3．某產(chǎn)品計劃在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為a噸，分若干批生產(chǎn)，設(shè)每批產(chǎn)品需要投入固定成本2000元，而每批生產(chǎn)直接消耗的變動成本與產(chǎn)品數(shù)量的立方成正比。如果每批生產(chǎn)20噸時，直接消耗成本4000元，問每批生產(chǎn)多少噸時，才能使總成本最省?

解 設(shè)每批生產(chǎn)X噸，則共有批，又設(shè)總成本為C，直接生產(chǎn)成本為C1，對固定成本有依題意有C1=KX3 當(dāng)X=20，C1 =4000時，于是4000=K(20)3，解得所以故總成本為固定成本與直接消耗成本之和，即

令 解得（噸）

又由C＂＞0知，當(dāng)x=12.6時，函數(shù)有最小值，故每批生產(chǎn)12.6噸時，可使總成本最省。

四、最優(yōu)批量問題

例4．商店經(jīng)銷某商品，年銷量為D件，每件商品的庫存費用為I，每批進貨量為Q，每次進貨所需要的費用為S，現(xiàn)假設(shè)商店在賣完該貨物時當(dāng)即進貨，使庫存量為平均件，問每批進貨Q為多大時，整個費用最??？

解 由題設(shè)知，倉庫存儲費用為每年采購次數(shù)為所以總費用

令 解得由T＂＞0知，時，總費用T最少。

五、最大稅收問題

例5．設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品X件時的總收益為R（x）=100X－X2總成本函數(shù)為C(x)=200+50X+X2，問稅務(wù)部門對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業(yè)獲得最大利潤的情況下，總稅額最大？

解 因為，總成本為C(x)=200+50x+x2 總收益為R(x)=100x-x2 總稅額T(x)=tx 總利潤為

L(x)=R(x)－C(x)－T(x)

=100x-x2－200－50x－x2-tx=50x-200-2x2-tx

令

解得又所以當(dāng)時，為最大利潤。取得最大利潤時的稅額為

令得t=25，又

所以當(dāng)t＝25總稅收取得最大值。故每件商品征收貨物稅為25(貨幣單位)時，總稅額最大。

參考文獻:

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