[摘要] 文章通過實例介紹了數(shù)學期望在減少工作量、選擇最優(yōu)存儲量、選擇最佳進貨量、總利潤最大問題等方面的應用，說明了數(shù)學期望在經(jīng)濟決策中的重要作用．

[關鍵詞] 數(shù)學期望 經(jīng)濟決策 應用

概率論是從數(shù)量上研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科，而隨機變量的分布函數(shù)能夠全面地反映隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性．但在諸多的經(jīng)濟管理或決策工作中，一方面由于求出隨機變量的分布函數(shù)并非易事，而且對于某些實際問題來說，并不需要對隨機變量進行全面的描寫，只需知道能夠反映隨機變量的某些重要的數(shù)字特征即可．數(shù)學期望是反映隨機變量總體取值的平均水平的一個重要的數(shù)字特征，它在經(jīng)濟決策工作中有著廣泛的應用，為決策者做出最優(yōu)決策提供重要的理論依據(jù)。

一、數(shù)學期望的概念

定義1（1）設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為離散型隨機變量X的數(shù)學期望(或均值)，記為EX，即。若級數(shù)發(fā)散，則稱隨機變量X的數(shù)學期望不存在；（2）設連續(xù)型機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則稱其為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望或均值，記為E(X)，

定義2設Y為隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))，（1)X是離散型隨機變量，分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若級數(shù)絕對收斂，則有（2)X是連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則有

二、數(shù)學期望的應用

1.期望值問題

例1一商場共有16層樓，設有10位顧客在一層進入電梯，每位乘客在樓上任何一層出電梯是等可能的，且各乘客是否出電梯相互獨立，求直到電梯中的乘客出空為止電梯需停次數(shù)X的期望值。

解:引入計數(shù)隨機變量

則有X=X2+X3+…＋X16。

由題意，每一個人在任何一層出電梯的概率為1/15，若10個人同時不在第i層出電梯，那么電梯在該層就不停，而此時的概率為

因此， 進而

2.減少工作量

例２某商場對員工(N人)進行體檢，其中普查某種疾病需要逐個驗血，一般來說，若血樣呈陽性，則有此種疾病;呈陰性則無此疾?。饌€驗血需要N次，若N很大，驗血的工作量也很大．為了能減少驗血的工作量，有人提出想法:把k(k＞1)個人的血樣混合后再檢驗，若呈陰性，則k個人都無此疾病，這時k個人只需作一次檢驗；若呈陽性，則對k個人再分別檢驗，這時為弄清誰有此種疾病共需檢驗k+1次．若該商場員工中患此疾病的概率為p，且各人得此病相互獨立，那么此種方法能否減少驗血次數(shù)？若能減少，那么能減少多少工作量？

解:令X表示該商場每人需要驗血的次數(shù)，那么X是只?。矀€值的隨機變量，其分布律為

則每人平均驗血次數(shù)為

而新的驗血方法比逐個驗血方法平均能減少驗血次數(shù)為1－EX＝只要EX＜1，就能減少驗血的工作量。例如，當p=0.1，k=2時，這時1-EX=0.92-0.5=0.31(次），若商場有員工10000人，則可減少3100次，即減少31%的工作量。

3.選擇最優(yōu)存儲量

例3春節(jié)期間一商場某種食品的進價為65元/千克，零售價為70元/千克，若賣不出去，則削價20%處理，如供應短缺，有關部門每千克罰款10元。已知顧客對該食品的需求量X服從[20000，80000]上的均勻分布，求該商場在春節(jié)期間對該食品的最優(yōu)存儲策略。

解:設存儲量為y，則20000≤y≤80000，存儲量為y時所得利潤為

需求量X服從均勻分布，其密度函數(shù)為

則期望利潤為

令可得y=57500，即當存儲量為57500千克時，期望利潤最大，且最大期望利潤為81250元。

4.選擇最佳進貨量

例4設某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上均勻分布的隨機變量，而經(jīng)銷的商場進貨數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)．商場每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，則可從外部調(diào)劑，此時每一單位商品僅獲利300元．為使商場所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最少進貨量。

解:設進貨量為a，利潤為Y，則利潤函數(shù)為

X的概率密度函數(shù)為

根據(jù)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，有

令-7.5a2+350a+5250≥9280，

即解得在此范圍內(nèi)a取最小的整數(shù)21。

以上兩個問題屬于隨機存儲模型，由于需求量是隨機變量，在知道其概率分布的前提下，構(gòu)造利潤函數(shù)（它是隨機變量的函數(shù)）也是隨機變量，根據(jù)期望利潤最大，確定最佳定貨量或最佳存儲量．這類問題為隨機存儲決策提供依據(jù)。

5.總利潤最大

例5 設某商場正在與一出版社聯(lián)系訂購下一年的掛歷問題，已知的有關條件如下：零售價80元/本，掛歷的進價50/本．若當年的12月31日以后掛歷尚未售出，該商場不得不降價到20元/本全部銷售出去．根據(jù)該商場以往10年的銷售情況，可知需求概率如下:在當年12月31日以前只能售出150本、160本、170本和180本的概率分別為0.1、0.4、0.3、0.2．根據(jù)以上條件，該商場應訂購多少本掛歷，可使期望利潤最大？

解:顯然，訂購的數(shù)量應在150本至180本之間．該商場的訂購方案有150本、160本、170本和180本，且各種訂購方案的獲利都是隨機變量，記X1，X2，X3，X4分別表示這四種訂購方案所獲得的利潤。根據(jù)購進、售出的數(shù)量可得如下利潤表(單位:百元）:

各訂購方案的期望利潤分別為

根據(jù)期望利潤最大的原則，應選擇期望利潤最大的訂購方案，即訂購160本或170本．

這種決策是建立在風險中性的基礎上的，風險中性的決策者認為：1單位期望利潤等于1單位確定利潤。在銷售市場上，機會與風險并存，不愿冒風險也不可能博取高額利潤。因此，對于風險型決策往往持風險中性態(tài)度，以期望利潤最大原則進行決策．由于需求的不確定性，各種訂購方案的利潤都是隨機變量，隨機變量的期望值反映了它的平均水平，即期望利潤；隨機變量的方差反映了它取值的不確定性，因此反映了經(jīng)銷的風險．在期望利潤相等（或很近似）的情況下，應選擇利潤方差（風險）最小的方案。由于訂購160本和170本的期望利潤相等，又是期望利潤最大的方案，我們應從中選擇獲利方差較小的方案。由于

EX22=2250，EX32=2262.2，

則DX2=3.24＜DX3=15.84，

所以，訂購160本掛歷是最優(yōu)方案．

這類問題是根據(jù)期望利潤最大的原則進行決策，是建立在風險中性的基礎之上，也是風險型決策的前提．如果有兩個以上的方案都能夠使得期望收益達到最大，那么就應該比較收益的方差（風險），風險較小者較優(yōu)．所以，在風險決策問題中，應綜合考慮收益的期望和方差，將超額收益（超過無風險收益的部分）作為承擔風險的補償，選擇最優(yōu)的方案才是最合理的。

參考文獻:

茆詩松等:概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社，2000