摘要：導(dǎo)數(shù)進入了高中數(shù)學(xué)教材之后，給函數(shù)問題的研究注入了生機與活力，提供了新視角，新方法，新途徑，拓寬了我們的解題空間。本文從函數(shù)的單調(diào)性 ，函數(shù)圖像的切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值或范圍等幾個方面來舉例說明導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：單調(diào)性 導(dǎo)數(shù) 切線問題 函數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類號】O13 【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1002-2139（2009）04-0158-01

求函數(shù)的方法很多，比如用初等方法來求值，但有時利用初等的方法會顯得比較難解，這時，我們?nèi)绻脤?dǎo)數(shù)的思想和方法來解決這些問題，就顯得容易多了，下面我們就摘要中所提到的幾個方面來分析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用.

一、利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性[1]

單調(diào)函數(shù)是一重要函數(shù)類，現(xiàn)在我們看看怎樣運用導(dǎo)數(shù)這一工具判斷函數(shù)的單調(diào)性。

定理： 若函數(shù)f在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，則f在（a、b）內(nèi)嚴(yán)格遞增(或遞減)的充分必要條件是： （i）對一切χ∈（a、b），有在內(nèi)的任何子區(qū)間上.

例1：設(shè)試討論函數(shù)f（χ）的單調(diào)區(qū)間

解：由于，

故當(dāng)時，遞增，

時， 遞減，

本題解答中，巧妙利用導(dǎo)數(shù)求解，避免了傳統(tǒng)單調(diào)性問題中使用定義而進行的復(fù)雜運算與討論，顯得簡便快捷。

二、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)圖象的切線問題[2][3]

從解析幾何知道，在曲線y=f（χ）上一點處的切線，是割線PQ，當(dāng)Q（χ、y）沿曲線趨進于P時的極限位置，因為割線PQ的斜率

而過點P的切線斜率k，正是割線斜率在χ→χ0.時的極限，即 由導(dǎo)數(shù)定義，所以曲線y=f（χ）在點P處的切線方程是

例2：求曲線在點P（2，1）處的切線方程與法線方程。

解： 由于：

所以曲線在點P的切線方程為：

由解析幾何知道，若切線斜率為k，則法線斜率為，從而過點P的法線斜率為，法線方程為：

本題如果采用常規(guī)的解方程組的方法是難以求解的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為這類問題的解決提供了新的方法和途徑。

三、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍[4]

利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值或范圍是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，它是對導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則，可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性等的綜合應(yīng)用。

例3：已知a為實數(shù)，若f（χ）函數(shù)在和上 都是遞增的，求a的取值范圍。

解： .因函數(shù)在和上都是遞增的.

所以在和上恒成立，則且

即：

再來看一個高考試題:

例4:已知函數(shù)，若對任意 ，f（x）