李其明

求二次函數(shù)解析式問題,多數(shù)情況下是給出一些點(diǎn)為已知條件,這些點(diǎn)往往藏有玄機(jī).同學(xué)們拿到這類題目,首先要研究這些點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),破解玄機(jī),找到最簡潔的解法.

例1 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,1),(-1,-8),(0,-3),求這個(gè)拋物線的解析式.

解析: 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

根據(jù)題意,得4a+2b+c=1,a-b+c=-8,c=-3.解得a=-1,b=4,c=-3.

所以拋物線的解析式為y=-x2+4x-3.

點(diǎn)評(píng):這三個(gè)點(diǎn)沒有突出特征,因此用“一般式法”.先設(shè)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入,構(gòu)造方程組來解.

例2 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三點(diǎn).求此二次函數(shù)的解析式.

解析: 顯然點(diǎn)A,B在x軸上,所以可設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-3).

因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象又過點(diǎn)(0,-3),代入這個(gè)解析式,可求得a=1.

因此,所求的二次函數(shù)解析式為y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.

點(diǎn)評(píng):已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0),(x2,0),則相當(dāng)于方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,從而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函數(shù)可表示為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).這種方法稱為“交點(diǎn)式法”.

例3 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3),且圖象過點(diǎn)(-3,-2).求此二次函數(shù)的解析式.

解析: 設(shè)這個(gè)函數(shù)的解析式為y=a(x+2)2-3,將點(diǎn)(-3,-2)的坐標(biāo)代入,可得a=1.故所求解析式為y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1.

點(diǎn)評(píng):若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k,h),則其解析式可設(shè)為y=a(x-k)2+h.只需再知道圖象上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),代入求出a即可.這種解題方法稱為“頂點(diǎn)式法”.在題設(shè)條件中,若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)?對(duì)稱軸?函數(shù)的最大(最小)值時(shí),可使用頂點(diǎn)式法.

例4 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解析: 觀察A,C這兩個(gè)點(diǎn),因它們的縱坐標(biāo)相同,所以它們是拋物線上的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn).設(shè)解析式為y=a(x-0)(x+1)+1,將B(1,3)代入,可求得a=1.所以解析式為y=x(x+1)+1,即y=x2+x+1.

點(diǎn)評(píng):當(dāng)條件中有拋物線上兩對(duì)稱點(diǎn)(x1,m),(x2,m)時(shí),可設(shè)解析式為y=a(x-x1)(x-x2)+m.這個(gè)式子一般稱為“對(duì)稱點(diǎn)式”.顯然當(dāng)m=0時(shí),對(duì)稱點(diǎn)式就變?yōu)榻稽c(diǎn)式了.我們把這種類型的題目稱為“對(duì)稱型”.

例5 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4,- ),且在x軸上截得的線段AB的長為6.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解析: 一般地,若y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),則可用a,b,c來表示線段AB的長.

AB=|x1-x2|= - = .

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2- (a≠0),y=ax2-8ax+16a- .

設(shè)拋物線與x軸交于A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.顯然AB=|x1-x2|=6.

又|x1-x2|= = =6.

所以(x1-x2)2= =36,可得a= .

∴所求的函數(shù)解析式為y= (x-4)2- .

小試牛刀

1. 如圖1,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)C為(2,-1),且在x軸上截得的線段AB的長為2.

(1) 求證:△ACB是等腰直角三角形.

(2) 求二次函數(shù)的解析式.

2. 如圖2,二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A,B兩點(diǎn),A,B分別在原點(diǎn)兩側(cè),拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C,若OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面積為24,求二次函數(shù)的解析式.

答案或提示1. (1) 作CD⊥AB于D,易證DA=DB=DC. (2) y=x2-4x+3. 2. 由OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面積為24,可得A(-2,0),B(6,0),C(0,6).二次函數(shù)的解析式為y=- x2+2x+6.

責(zé)任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”?