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        利用分解因式判定三角形形狀

        2008-08-27 08:15:50陳國(guó)玉
        關(guān)鍵詞:因式平方差三邊

        陳國(guó)玉

        給出三角形三條邊的某種關(guān)系,判斷三角形的形狀,這類(lèi)題中考中很常見(jiàn).此類(lèi)題是對(duì)同學(xué)們綜合運(yùn)用分解因式和幾何知識(shí)能力的考查.解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是:將已知等式的右邊化為0,左邊分解為幾個(gè)因式的乘積,即將已知等式化為ab=0的形式,然后根據(jù)a=0或b=0來(lái)確定三角形的形狀.下面舉例說(shuō)明.

        例1已知是a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng),當(dāng)b2+2ab=c2+2ac時(shí),試判斷△ABC的形狀.

        分析:將已知等式b2+2ab=c2+2ac的兩邊都加上a2,使等邊的左右兩邊都成為完全平方式,再將右邊的移到左邊,利用平方差公式進(jìn)一步分解即可.

        解: ∵ b2+2ab=c2+2ac,∴ b2+2ab+a2=c2+2ac+a2.

        即(a+b)2=(a+c)2.

        移項(xiàng),得(a+b)2-(a+c)2=0.

        利用平方差公式分解,得[(a+b)+(a+c)][(a+b)-(a+c)]=0.

        即(2a+b+c)(b-c)=0.

        ∵ 2a+b+c≠0,∴ b-c=0. b=c.

        所以△ABC是等腰三角形.

        例2已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng),且a4-b4=a2c2-b2c2,試判斷△ABC的形狀.

        分析: 將等式a4-b4=a2c2-b2c2的兩邊分別分解因式,然后將右邊的移到左邊,再用提公因式法分解即可.

        解: ∵ a4-b4=a2c2-b2c2,∴ (a2+b2)(a2-b2)=c2(a2-b2).

        即(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0.

        ∴ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0.

        當(dāng)a2-b2=0時(shí),得a=b,△ABC是等腰三角形.

        當(dāng)a2+b2-c2=0時(shí),得a2+b2=c2,△ABC是直角三角形.

        所以,△ABC是等腰三角形或直角三角形.

        例3已知某三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿(mǎn)足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,請(qǐng)判斷此三角形的形狀.

        分析:將等式的左邊化成三個(gè)完全平方式的和,再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

        解:把等式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0的兩邊都乘以2,得

        2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0.

        ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0.

        ∵(a-b)2≥0,(a-c)2≥0,(b-c)2≥0,

        ∴a-b=0,a-c=0,b-c=0.即a=b=c.

        所以此三角形是等邊三角形.

        <\192.168.0.129本地磁盤(pán) (d)王玲霞數(shù)據(jù)八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練習(xí)]

        1. 已知三角形的三邊a、b、c滿(mǎn)足a2b-a2c+b2c-b3=0,則這個(gè)三角形是三角形.

        2. 已知a、b、c為某三角形的三邊長(zhǎng),且滿(mǎn)足a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-ab-ca=0,則這個(gè)三角形的形狀是().

        A. 等腰三角形(但三邊不全等) B. 直角三角形

        C. 等邊三角形 D. 等邊三角形或直角三角形

        3. 已知△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,請(qǐng)判斷△ABC的形狀.

        參考答案

        1. 等腰2. C3. 等邊三角形.

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文

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