[摘要]不等式的形式與結(jié)構(gòu)豐富多彩，不等式命題證明的方法也因題而異，靈活多樣，技巧性強(qiáng)。本文有針對性地討論了不等式證明題的常用解法及相關(guān)思路與技巧。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 不等式證明 思路與技巧

一、前言

數(shù)學(xué)中的題目形式多樣，解題的思路也靈活多種。不論要解決哪一種形式的數(shù)學(xué)題目，都存在一定模式化的解題思路和解題技巧。解題意味著從困難中去尋找一條越過障礙的路，使我們能夠達(dá)到最終目標(biāo)。不等式的形式與結(jié)構(gòu)豐富多彩，不等式命題證明的方法也因題而異，靈活多樣，技巧性強(qiáng)。然而，如果我們掌握了解題的基本方法及相關(guān)思路，相當(dāng)一部分不等式問題就可以迎刃而解。本文對不等式證明題的解法及相關(guān)思路與技巧，進(jìn)行了探討與歸納，以期共同尋找一條通向目標(biāo)的路。

二、不等式證明常見的幾種證法

1.綜合法。其思路是：根據(jù)已知條件，從不等式的性質(zhì)或基本公式出發(fā)，順勢推導(dǎo)出欲證的結(jié)論。它是“由因?qū)Ч钡臄?shù)學(xué)方法。其關(guān)鍵是尋找一個合適的不等式基本公式，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推理論證。

2.分析法。其思路是：從欲證的原不等式出發(fā)，運用不等式的性質(zhì)或式中的恒等變形，逐步分析使各級不等式成立的充分條件，直到找出這種充分條件已經(jīng)具備，從而證明原不等式成立。它是“由果追因”的數(shù)學(xué)方法。

3.反證法。反證法是一種間接證明方法。當(dāng)使用直接法遇到困難時，反證法不失為一種好的證明方法。其思路是：假設(shè)原結(jié)論不成立；從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，得出與已知或定理、定義矛盾；此矛盾歸因于假設(shè)，否定假設(shè)的結(jié)論；肯定原結(jié)論的正確性。

例3.已知：△ABC的三邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B必為銳角。

證 假設(shè)∠B不是銳角，則∠B必為直角或鈍角，于是有①b>a>0， ②b>c>0，

4.數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法常用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。首先驗證當(dāng)n=1時，命題正確；其次假設(shè)當(dāng)n=k時，命題正確，證明當(dāng)n=k+1時命題成立。

5.構(gòu)造法。在不等式證明中，運用構(gòu)造思想，即思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。能開闊思路，啟發(fā)運用其它知識(如通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì))，使問題得以簡潔、巧妙解決。

6.放縮法與均值法。放縮法與均值法在解題中經(jīng)常結(jié)合使用。放縮法其基本思想是利用不等式傳遞性強(qiáng)化命題。當(dāng)不易直接證明不等式A>B時，可借助一個(或多個)中間量C作比較。證明A>C，C>B，從而A>B成立。用放縮法證明不等式時，要注意目標(biāo)明確，放縮適當(dāng)，否則可能會得出錯誤的結(jié)論。

均值法其基本作法是選用參數(shù)的平均值為輔助因式或輔助項，以這個平均值為基礎(chǔ)，運用不等式性質(zhì)，證明原不等式成立。

7.比較法。把要證的不等式兩端通過簡單的運算直接比較，利用不等式的基本性質(zhì)，證明不等式的方法。常用的比較法有兩種：①差比法，要證a>b ，通過證明a-b>0成立來實現(xiàn)；②商比法，要證a>b (其中b>0)，通過證明a[]b>1成立來實現(xiàn)。

8.代換法。變量代換是數(shù)學(xué)中常用的解題技巧。在不等式證明中也是如此。對于不等式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，或感到陌生，直接證明困難時，可通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q(代數(shù)代換或三角代換)，能簡化原有結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化，從中找到解決問題的途徑。

三、結(jié)語

對數(shù)學(xué)不等式題型的證明會使許多學(xué)生感到較困難，產(chǎn)生原因有以下幾種：一是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不扎實；二是識別數(shù)學(xué)模型和組織信息的能力訓(xùn)練不夠；三是在數(shù)學(xué)思考和問題解決中缺乏理念、方向感、方法和技能；四是在探索隱蔽模式顯現(xiàn)化過程中缺乏必要的心理素質(zhì)和技能。

綜上所述，我們在求證數(shù)學(xué)不等式命題中不必拘泥于某種單一的方法，可根據(jù)具體情況靈活選擇最簡單、最優(yōu)化的方法，從而達(dá)到最佳的證明效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔性和實用性。

參考文獻(xiàn)：

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(作者單位：福建水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>