摘 要：“數(shù)”與“形”之間密不可分，它們相互轉(zhuǎn)化，相輔相成。在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合，把握好數(shù)形結(jié)合之度，就可以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。在引進(jìn)新知、建構(gòu)概念、解決問(wèn)題時(shí)，還可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于發(fā)展學(xué)生的想象力及提高學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；小學(xué)低年級(jí)；數(shù)學(xué)思想；課堂教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-010X（2007）10-0053-03

數(shù)、形是數(shù)學(xué)中兩大基本概念之一，可以說(shuō)全部數(shù)學(xué)大體上都是圍繞這兩個(gè)基本概念的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)的。在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，方法上相互滲透，一定條件下相互轉(zhuǎn)化。

本文先解讀“數(shù)形結(jié)合”思想，淺談其歷史性及重要意義，后結(jié)合實(shí)踐重點(diǎn)探討“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用和實(shí)施途徑。

一、“數(shù)形結(jié)合”，由來(lái)已久

早在數(shù)學(xué)被抽象、分離為一門(mén)學(xué)科之前，人們?cè)谏钪卸攘块L(zhǎng)度、面積和體積時(shí)，就已經(jīng)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)了。在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系描述成代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不得解決的問(wèn)題，如尺規(guī)作圖“三大不能”問(wèn)題等，最終也是借助于代數(shù)方法得到圓滿解決。

這些都說(shuō)明了“數(shù)形結(jié)合”思想有著悠久的歷史。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們雖還用不到這種高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，卻也在低年級(jí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中就接觸到了數(shù)形結(jié)合這個(gè)思想。以形助數(shù)——借助形的生動(dòng)和直觀來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，以形為手段，數(shù)為目的，比如：運(yùn)用同數(shù)相加的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明乘法的意義。以數(shù)助形——借助數(shù)的簡(jiǎn)潔性和概括性來(lái)提煉事物（圖形）的本質(zhì)，以數(shù)為手段，形為目的，比如：一個(gè)特定的數(shù)字可以代表任何達(dá)到這個(gè)數(shù)量的事物。（3可以代表達(dá)到3這個(gè)數(shù)量的蘋(píng)果、衣服、車子……）

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起。如果把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的圖形結(jié)合起來(lái)，挖掘和利用概念中的直觀成分，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，就能有效降低教學(xué)難度，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”

二、“數(shù)形結(jié)合”，意義深遠(yuǎn)

1.有利于更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

心理學(xué)認(rèn)為：“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！薄跋挛粚W(xué)習(xí)所學(xué)的知識(shí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新知識(shí)?！?/p>

學(xué)生在進(jìn)入小學(xué)學(xué)習(xí)之前，他們的知識(shí)基本上是建立在現(xiàn)實(shí)生活中客觀事物上的。其知識(shí)特點(diǎn)是直觀形象，看得見(jiàn)，摸得著。而進(jìn)入小學(xué)階段，教師如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)引入新知、建構(gòu)概念、解決問(wèn)題，就相當(dāng)于在原有的知識(shí)體系上添磚加瓦，新知識(shí)的學(xué)習(xí)就變成了下位學(xué)習(xí)。這樣新學(xué)的知識(shí)就會(huì)具有較高的穩(wěn)定性和牢固性，而我們也達(dá)到了所需的教學(xué)效果，也就是所謂深入淺出。

2.有利于數(shù)學(xué)能力的提高。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的能力始終是新課程提出的一個(gè)重要方面。但是能力不是一朝一夕就能擁有的。能力形成于學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，發(fā)展于靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)獨(dú)立解決問(wèn)題的過(guò)程里。分析綜合、歸納類比、抽象概括，都應(yīng)該從小學(xué)開(kāi)始著力培養(yǎng)。

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生入門(mén)的途徑之一。

比如：通過(guò)圖來(lái)揭示數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：根據(jù)前面的盤(pán)子里出現(xiàn)的量，最后一個(gè)盤(pán)子應(yīng)該放幾個(gè)蘋(píng)果呢？

小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中注重“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)密思維，靈活思考，善于抓事物的主要矛盾，就能使學(xué)生學(xué)會(huì)有效的思維方法，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。（不展開(kāi)）

三、“數(shù)形結(jié)合”，教學(xué)精髓

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的本質(zhì)之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，可以貫穿、融合在課堂教學(xué)過(guò)程中。我們利用數(shù)形結(jié)合引進(jìn)新知，建構(gòu)概念，解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法去激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)能力，可為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.以“形”激情，激發(fā)求知欲望。

讓我們來(lái)看看發(fā)生在我班級(jí)上的一個(gè)案例：教學(xué)“分一分與除法”時(shí)，我將“平均分”的意義設(shè)計(jì)了一個(gè)活動(dòng)情景。

師：（課開(kāi)始，教師在每個(gè)小組的桌上放了一個(gè)紅色的小巧玲瓏的正方體盒子，并高高舉起正方體小盒子）說(shuō)：“小朋友請(qǐng)你猜一猜，這個(gè)盒子里放了什么？”老師話音剛落，教室里騷動(dòng)起來(lái)：“是糖？”“玻璃球！”“是巧克力吧！”“老師，能不能打開(kāi)看看??？”……老師說(shuō)：能，請(qǐng)組長(zhǎng)打開(kāi)盒子，并按盒子里的要求做一做。

這是一個(gè)新課的引入片段，新課以“形”（一個(gè)盒子）為背景讓學(xué)生猜測(cè)，恰到好處地將現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)形結(jié)合，利用學(xué)生的好奇心理，引發(fā)了學(xué)生的求知欲望，使課堂的學(xué)習(xí)氛圍出現(xiàn)了最佳態(tài)勢(shì)。

2.數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)概念。

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)是：學(xué)習(xí)并非對(duì)于教師所授予的知識(shí)的被動(dòng)接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。數(shù)學(xué)意義所指的“意義”是人們一致公認(rèn)的事物的性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，是比較抽象的概念。而“數(shù)形結(jié)合”能使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，學(xué)生容易掌握和理解。

例如：二年級(jí)數(shù)學(xué)第一冊(cè)中《乘法的引入》。

用相同的圖像引導(dǎo)學(xué)生列出同數(shù)相加的算式，這樣一方面利用數(shù)形結(jié)合思想直觀、形象、生動(dòng)的特點(diǎn)展現(xiàn)乘法的初始狀態(tài)，懂得乘法的由來(lái)（知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展）；另一方面借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——看圖列加法算式，加深了圖、式的對(duì)應(yīng)思想，無(wú)形中也降低了教學(xué)難度。

二年級(jí)數(shù)學(xué)新教材第一冊(cè)中通過(guò)游樂(lè)場(chǎng)主題圖來(lái)引入乘法。

我在實(shí)際課堂教學(xué)中運(yùn)用Power Point幻燈片技術(shù)展現(xiàn)一條船上有三人，然后依次出現(xiàn)這樣的第二條船，第三條船，一直到第六條船，如何來(lái)表示這個(gè)場(chǎng)景呢？學(xué)生自然會(huì)用同數(shù)相加的方法來(lái)表示。接著，教師一邊出示滿是船的湖面一邊提出：“如果有20條船，30條船，甚至100條船，你們?cè)趺崔k呢？”學(xué)生一片嘩然：“哦~~??！算式太長(zhǎng)了，本子都寫(xiě)不下呢。”這時(shí)，建立乘法概念水到渠成！教師歸納：可用乘法算式表示——船的條數(shù)乘以一條船的人數(shù)或者用一條船上的人數(shù)乘以船的條數(shù)。數(shù)形結(jié)合使學(xué)生不僅理解了乘法的意義，而且懂得了乘法是同數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

由此可以看出，新教材的這個(gè)課題取得非常好，凸現(xiàn)了學(xué)習(xí)的過(guò)程性及數(shù)形結(jié)合在課堂教學(xué)中的重要性。教師對(duì)教材的加工，把6條小船增加到20條，30條，甚至100條船，使學(xué)生產(chǎn)生更為強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，感悟到乘法的簡(jiǎn)便。教師引領(lǐng)學(xué)生邊觀察邊數(shù)，一個(gè)3，兩個(gè)3……一直到x個(gè)3，起到了強(qiáng)化同數(shù)連加概念的效果。

其次，從學(xué)生的思維活動(dòng)過(guò)程來(lái)看：在這個(gè)片段中，學(xué)生經(jīng)歷了由具體到抽象的思維過(guò)程，也就是由直觀的小船，抽象成連加算式，抽象成乘法算式，經(jīng)歷了由一般到特殊的思維過(guò)程。

讓學(xué)生獲得認(rèn)識(shí)，最好是讓學(xué)生自己體會(huì)、感悟，而不是簡(jiǎn)單地教師講，學(xué)生聽(tīng)。那么，怎樣才能讓學(xué)生自己感悟呢？一個(gè)行之有效的辦法就是讓學(xué)生經(jīng)歷從加到乘的過(guò)程并輔之以形象的視覺(jué)沖擊。這正是這段教材跟這節(jié)課最重要的一個(gè)切入點(diǎn)。它反映了新的課程觀滲透數(shù)形結(jié)合思想的必要性和可行性，即課程應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

3.數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合有時(shí)能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀，成為解決問(wèn)題的有效方法之一。在分析問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，根據(jù)問(wèn)題的具體情形，把圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易。

如：下例是從二年級(jí)數(shù)學(xué)第一冊(cè)的一次練習(xí)中截下的，此前，學(xué)生已經(jīng)掌握“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”和“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的知識(shí)。

這道題的意思是：一個(gè)數(shù)減少幾，另一個(gè)數(shù)減少到幾才能使剩下的量是第一個(gè)量的幾倍。如果沒(méi)有圖形只給出數(shù)量關(guān)系，對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較難的，因?yàn)檫@是四年級(jí)知識(shí)。但是此題將圖形與數(shù)量結(jié)合呈現(xiàn)，就大大降低了解題的難度，學(xué)生可以一邊借助圖形一邊思考尋找解題方式。實(shí)際教學(xué)中有95%的學(xué)生做對(duì)了！而且這道題既包含了圖形的表義，又揭示“倍”的含義，無(wú)形中把學(xué)生一般思維過(guò)渡到高級(jí)思維，并且訓(xùn)練了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題的能力。

這道題引發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思路，它將學(xué)生頭腦中原有的思維方式進(jìn)行了更新，它的解題過(guò)程，成功地成為發(fā)動(dòng)認(rèn)識(shí)與構(gòu)思的內(nèi)在機(jī)制。

數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形聯(lián)系起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的思維。

“高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！薄皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)思想方法之一，它也是數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的，無(wú)怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生“不管他們將來(lái)從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法后，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性記憶是非常有益的。

因此，教學(xué)中要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”思想教育，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)尤為重要。我認(rèn)為：第一，在平時(shí)教學(xué)中適時(shí)滲透，以逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解決這類問(wèn)題的能力，所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”；第二，在習(xí)題的設(shè)置上要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想方法的習(xí)慣，促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想方法的精髓，并靈活運(yùn)用。第三，教師要轉(zhuǎn)變觀念，深挖教材，教學(xué)中著力培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力。

總之，新課程呼喚我們每位教師要從根本上改變教學(xué)方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和能力，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，使課堂教學(xué)“增值”。

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