在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)該多對(duì)已有的例題或習(xí)題進(jìn)行系列改變，使一題變成多題，讓靜態(tài)的圖形動(dòng)起來，這有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在變化過程中，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法是不變的，這有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)的效率。下面是我在一節(jié)習(xí)題課上的一些實(shí)際做法，結(jié)合這節(jié)課談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)。

試題：已知：（如圖1），直線AB∥CD，求證：∠BPD=∠B+∠D

分析：要證一個(gè)角等于兩個(gè)角的和通常是把兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)角上或把一個(gè)角分成兩個(gè)角，利用平行線的性質(zhì)或三角形的知識(shí)加以解決。

解法1：（如圖2）

過點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B=∠BPF

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠FPD

∵∠BPD=∠BPF+∠FPD

∴∠BPD=∠B+∠D

解法2：（如圖3）

延長BP交CD于點(diǎn)E，則∠BPD=∠PED+∠D

∵AB∥CD，∴∠B=∠PED

∴∠BPD=∠B+∠D

不管是解法1還是解法2，構(gòu)造輔助線的目的都是為了用上AB∥CD，當(dāng)然解法2還用了“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這個(gè)定理。

變式一：已知：（如圖1），∠BPD=∠B+∠D，求證：直線AB∥CD

（提示：輔助線的做法同上）

變式一是把試題當(dāng)中的條件和結(jié)論互換。

變式二：已知：（如圖4），直線AB∥CD，如果點(diǎn)P在BD的另一側(cè)，∠BPD，∠B，∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由。（用幾何畫板拖動(dòng)點(diǎn)P在平面內(nèi)移動(dòng)，學(xué)生觀察并思考各種位置時(shí)三個(gè)角之間的關(guān)系）

（∠BPD+∠B+∠D=360°）

提示：過點(diǎn)P作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。

變式三：已知：（如圖5），直線AB∥CD，如果點(diǎn)P在AB的上面，∠BPD，∠B，∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

（∠D=∠BPD+∠B）

提示：易證∠BED=∠B+∠BPD，∠BED=∠D，∴∠D=∠BPD+∠B

變式2與變式3是在直線AB∥CD不變的情況下讓點(diǎn)P動(dòng)起來得到的不同圖形。

變式四：已知：（如圖6），直線AB、AD相交于點(diǎn)A，∠BPD，∠A，∠B，∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

（∠BPD=∠A+∠B+∠D）

方法1：（如圖7）

連接AP并延長到E，∵∠BPE=∠B+∠BAP，∠DPE=∠D+∠DAP

∴∠BPD=∠A+∠B+∠D

方法2：（如圖8）

延長BP交AD于點(diǎn)E，則∠BPD=∠PED+∠D，∠PED=∠A+∠B

∴∠BPD=∠A+∠B+∠D

不管是方法1還是方法2，構(gòu)造輔助線的目的都是為了構(gòu)造三角形利用“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”這個(gè)定理來解決問題。

變式五：當(dāng)點(diǎn)P在BD的另一側(cè)（如圖9），結(jié)論是什么？

（結(jié)論：∠BPD+∠A+∠B+∠D=360°）

變式六：當(dāng)點(diǎn)P在AB，AD的上方或下方（如圖10），結(jié)論是什么？

（圖10的結(jié)論：∠BPD+∠B=∠A+∠D）

變式4、變式5與變式6是把直線AB∥CD的條件變成直線AB與直線CD相交于點(diǎn)A，隨著點(diǎn)P的變化，圖形也發(fā)生相應(yīng)的變化。

變式七：已知：（如圖11），直線AB、AD相交于點(diǎn)M，∠BPD，∠M，∠B，∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

（∠B+∠D=∠BPD+∠M）

提示：連接PM，則∠B=∠BPM+∠BMP

∠D=∠DPM+∠DMP，∴∠B+∠D=∠BPD+∠M

變式7是直線AB與直線CD在點(diǎn)P的右側(cè)相交于點(diǎn)M，其他不變形成的圖形。

練習(xí)：已知：（如圖12），把一張三角形紙片ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部。你能找出∠A，∠1，∠2三者之間的關(guān)系嗎？請(qǐng)給出證明。

∠1+∠2=2∠A

證明：延長BD，CE交于點(diǎn)A′，連接AA′

∵∠1是△ADA′的外角，∴∠1=∠DAA′+∠DA′A

∵∠2是△AEA′的外角，∴∠2=∠EAA′+∠EA′A，

∴∠1+∠2=∠A+∠A′，又∵∠A=∠A′，∴∠1+∠2=2∠A

在平時(shí)的教學(xué)中，如果能對(duì)一個(gè)普通的數(shù)學(xué)題進(jìn)行一題多變，從變中總結(jié)解題方法，從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，必將使人受益匪淺。這樣也有助于培養(yǎng)學(xué)生各方面的技能，特別是自主探索、創(chuàng)新思維的能力。同時(shí)也能將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，從而體會(huì)出“數(shù)學(xué)美”。

編輯 趙飛飛