祝禎禎， 盧 濤

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000)

0 引言

Domain理論為計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語言語義學(xué)奠定了基礎(chǔ)，而連續(xù)Domain在Domain理論中占有極其重要地位．隨著連續(xù)Domain理論在計(jì)算機(jī)科學(xué)和精典數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐漸得到應(yīng)用，人們對于連續(xù)Domain相關(guān)理論的研究興趣日益濃厚，基于此，本文引入了偽相容連續(xù)Domain與偽相容連續(xù)Domain的基的概念，進(jìn)而得出許多良好的性質(zhì)與結(jié)論，從而對Domain理論作出進(jìn)一步推廣．

1 預(yù)備知識

設(shè)(P，≤)是偏序集，P的非空子集A稱作定向集，若對于?a，b∈A，?c∈A使得a≤c且b≤c．P稱作定向完備偏序集，若P的每個(gè)定向子集都有上確界．而對于?x，y∈p，x＜＜y是指對P的每個(gè)定向子集D，y≤sup D時(shí)存在d，使得x≤d．

記?x={y∈p:y＜＜x}，↓x={y∈p:y≤x}，x=∨↑D表示x是定向集D的上確界．

定義1[1]: 設(shè)(P，≤)是偏序集，如果(i)是D定向集;(ii)?p∈D，使得D?↓P={x∈P:x≤P};則稱D為P的相容定向集．

易證，↓x是P的相容定向集．

定義2[1]: 設(shè)(P，≤)是偏序集，若對于P的每個(gè)相容定向集D，∨↑D在P中存在，則稱P為相容Domain．

2 偽相容連續(xù)Domain與偽相容連續(xù)

定義3: 設(shè)(P，≤)是偏序集，任意x∈P，若對于P的任意相容定向集D，當(dāng)x≤∨↑D，?d∈D，使得x≤d，則稱x為P的緊元，P上的全體緊元的集合用K(P)表示．

命題 1:K(x)=K(P)∩ ↓x為相容Domain．

定義4: 設(shè)P為相容Domain，稱P為偽相容連續(xù)Domain，若P滿足:

(i)任意x∈P，↓x={y∈P:y≤x}是P中的相容定向集;

(ii)任意x∈P，x=∨↑↓x．

命題2: 設(shè)P為相容Domain，若任意x∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx?↓x，且x=∨↑↓x，則P是偽相容連續(xù)Domain．

證明: 因?yàn)閷τ谌我鈞∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx?↓x，又P是相容Domain，∨↑D在P中存在，所以∨↑Dx≤∨↑↓x．而x≤∨↑Dx，所以x≤∨↑↓x，由x≥∨↑↓x知x=∨↑↓x，所以P是偽相容連續(xù)Domain．

命題3: 連續(xù)Domain一定是偽相容連續(xù)Domain．

證明: 由文獻(xiàn)(4)知，若P是連續(xù)Domain，則對于任意x∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx??x?↓x，Dx是定向集，從而是相容定向集，且x=∨↑Dx，由偽相容連續(xù)Domain定義得．

事實(shí)上，若對于任意x∈P，↓x與?x是等價(jià)的，則連續(xù)Domain與偽相容連續(xù)Domain等價(jià)．因?yàn)槿鬚為偽相容連續(xù)Domain，則對于任意x∈P，存在相容定向集Dx，從而存在定向集，使得Dx?↓x= ?x，且x∨↑x=Dx，故P為連續(xù)Domain．

定義5: 設(shè)P是相容Domain，B?P，若對于任意x∈P，都存在相容定向集Bx?B使得Bx?↓x，且x=∨↑Bx，則稱B是P的一個(gè)基．

命題4: 若P是偽相容連續(xù)Domain，則↓x是P的一個(gè)基．

由定義即可證．

命題5: 設(shè)P是偽相容連續(xù)Domain，B?P，則B是基當(dāng)且僅當(dāng)任意x∈P，Bx=B∩↓x是相容定向的．

命題6: 設(shè)P是偽相容連續(xù)Domain，B?P，則B是基當(dāng)且僅當(dāng)任意x，y∈P，x≤y存在b∈B使得x≤b≤y．

定義6: 設(shè)C?P，若?a，b∈C，a≤b，存在c∈C，使得a≤c≤b，則稱C在P中≤稠密．

命題7: 設(shè)P是相容Domain，B是P的基，則B在P中≤稠密．

證明: 由命題1．6直接可得．

命題8: 設(shè)P是偽相容連續(xù)Domain，D在P中≤稠密，則↓a∩D是相容定向集，且?a∈P，a=∨↑(↓a∩ D)．

證明: ?x，y∈↓a∩D?↓a，↓a是相容定向集，所以存在b≤a，x，y≤b，D在P中≤稠密，?d∈D使得b≤d≤a，所以x，y≤b≤d∈(↓a∩D)，又↓a∩D?↓a，所以↓a∩D是相容定向集．

令d=∨↑(↓a∩D)，?y∈↓a∩D，所以b≤a．

3 結(jié)論

本文在引入了偽相容連續(xù)Domain與偽相容連續(xù)Domain的基的基礎(chǔ)上，對其相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論進(jìn)行探討，而偽相容連續(xù)Domain還具有很多其他的特征與性質(zhì)，以后將作進(jìn)一步研究與探討．

[1] 李嬌，徐曉泉．相容連續(xù)的序同態(tài)擴(kuò)張[J]．江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，35(4):373 －374．

[2] G．Gierz，Continuous Lattices and Domains[M]．New York，Cambridge University Press，2003．

[3] Abramsky S，JungA．Domain theory[M]．New York:Oxford University Press，1994．

[4] 趙斌，劉妮 連續(xù)格的特征濃度[J]．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，30(2):1 －3．

[5] 徐羅山．相容連續(xù)偏序集及其定向完備化[J]．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，3(1):1 －6．