《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）明確指出：第三學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)處于從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算的過(guò)渡期，要求學(xué)生從整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的共性中探索數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性，更強(qiáng)調(diào)了溝通數(shù)運(yùn)算本質(zhì)一致性的重要性。整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法，學(xué)生都很容易從算理上理解相同計(jì)數(shù)單位進(jìn)行運(yùn)算，但是到了異分母分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法內(nèi)容時(shí)，學(xué)生難以理解比較抽象的運(yùn)算，很難找到和以往運(yùn)算的共性。本文以分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算為例，將從以下四塊內(nèi)容來(lái)探究數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。

一、同分母分?jǐn)?shù)加減法數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性

人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第六單元第一個(gè)課時(shí)集中探討了同分母分?jǐn)?shù)加減法。此內(nèi)容在學(xué)生以往學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，很容易理解分子相加減的結(jié)果做分子，但是分母為什么不相加減，教師一定要讓學(xué)生深入探究，這是揭示同分母分?jǐn)?shù)相加減算理的關(guān)鍵問(wèn)題。教材出示了3/8+1/8=？的情境圖。教師要從情境圖中挖掘這張餅總共分出8份，計(jì)數(shù)單位是1/8，是3個(gè)1/8和1個(gè)1/8的和，合起來(lái)就是4個(gè)1/8，4個(gè)"1/8合并起來(lái)就是4/8，分?jǐn)?shù)單位還是1/8，分?jǐn)?shù)單位不變。分子相加表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加，分?jǐn)?shù)單位不變所以分母不變。同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則是：只把分子相加減、分母不變。

即：3/8+1/8→計(jì)數(shù)單位都是1/8

=（3+1）/8→3個(gè)1/8和1個(gè)1/8的和

= 4/8→4個(gè)1/8

同分母分?jǐn)?shù)加減法實(shí)際就是把相同計(jì)數(shù)單位相加減的結(jié)果，這就和整數(shù)、小數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)建立了一致性。

二、異分母分?jǐn)?shù)加減法算理的一致性

異分母分?jǐn)?shù)加減法是學(xué)生在學(xué)習(xí)了同分母分?jǐn)?shù)加減法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生把異分母分?jǐn)?shù)加減法再轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法的過(guò)程。以教材中1/8+1/4的運(yùn)算為例，教師引導(dǎo)學(xué)生理解分母不同實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)單位不同，不同的計(jì)數(shù)單位不能相加，那么怎樣把不同的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同的計(jì)數(shù)單位呢？引導(dǎo)學(xué)生思考把大的分?jǐn)?shù)單位1/4再細(xì)分成更加細(xì)小的分?jǐn)?shù)單位，比1/4更小的分?jǐn)?shù)單位有無(wú)數(shù)個(gè)，但是要和1/8的分?jǐn)?shù)單位相統(tǒng)一，就必須是4和8的最小公倍數(shù)，從而找到1/4和1/8共同的分?jǐn)?shù)單位是1/8，這個(gè)過(guò)程就是通分。通分的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位再細(xì)分，從而統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的過(guò)程，順勢(shì)就把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加減法。

即 ：1/8+1/4→（計(jì)數(shù)單位分別為1/8和1/4）

=1/8+2/8→（計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一為1/8）

=（1+2）/8→（1+2是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）

=3/8→（3個(gè) 1/8）

通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷通分的過(guò)程，學(xué)生明白通分的意義，便對(duì)統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位有了更深入的認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法，仍然是相同計(jì)數(shù)單位相加減的運(yùn)算本質(zhì)。

三、分?jǐn)?shù)乘法算理的一致性

六年級(jí)上冊(cè)在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)容時(shí)，教材先安排了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的內(nèi)容。分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的內(nèi)容，其本質(zhì)是同分母分?jǐn)?shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算，學(xué)生很容易轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加法。

即：2/9+2/9+2/9→（分?jǐn)?shù)單位都是1/9）

=（2+2+2）/9→（合并計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）

= 2X3/9→ （6個(gè)1/9是多少）

= 6/9

因?yàn)榉帜赶嗤杂?jì)數(shù)單位也相同，只要把分子的個(gè)數(shù)相加，所以分子乘整數(shù)的積表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；計(jì)數(shù)單位都是相同的，所以分母不變。在已學(xué)過(guò)同分母分?jǐn)?shù)加法的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)也是相同計(jì)數(shù)單位相加。

打通數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性，難點(diǎn)是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法，這是學(xué)生由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算的典型案例。到這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，教師如果講不清楚其中的關(guān)鍵，學(xué)生就很容易形成死記硬背的機(jī)械運(yùn)算。以教材1/2×1/5為例，1/2和1/5的計(jì)數(shù)單位各不相同，借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很難找到數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。通過(guò)教材情境，讓學(xué)生理解1/5是在1/2的基礎(chǔ)上再細(xì)分，把1/2等分為5份后，實(shí)際上重新等分成了10份，產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位，1/2和1/5的共同的計(jì)數(shù)單位變成了1/10。

即：1/2×1/5→（計(jì)數(shù)單位分別是1/2和1/5）

= 1×1/ 2×5→（1×1表示兩個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的積；2×5表示兩個(gè)計(jì)數(shù)單位份數(shù)的積）

= 1/10→（1表示新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，10表示二次平均分的總份數(shù)）

所以分子相乘表示新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，分母相乘表示新的計(jì)數(shù)單位的份數(shù)相乘。在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生理解產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的過(guò)程，從而找到數(shù)運(yùn)算本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的共性。

四、分?jǐn)?shù)除法算理的一致性

教學(xué)分?jǐn)?shù)除法時(shí)，教材先安排了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，無(wú)疑和分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的安排一樣，都是基于學(xué)生對(duì)整數(shù)乘除法已經(jīng)非常熟練的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生借助整數(shù)乘法的意義來(lái)理解分?jǐn)?shù)除法的意義。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，其意義和整數(shù)除法一樣，平均分只是把份數(shù)變少而不能改變份數(shù)的大小，份數(shù)變少只要把分子平均分，份數(shù)的大小不變就是計(jì)數(shù)單位不變。所以分子除以整數(shù)得到新的份數(shù)做分子，分母不變。這種算法對(duì)于分子正好可以平均分的情況下，學(xué)生可以無(wú)障礙理解數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。

但是當(dāng)出現(xiàn)分子除以整數(shù)得不到一個(gè)整數(shù)時(shí)，如何打通數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性又是一個(gè)難點(diǎn)。在學(xué)生已經(jīng)有了不夠分就再分成更小份數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)擴(kuò)大成整數(shù)的倍數(shù)，再用擴(kuò)大后的新的分子除以整數(shù)，二次均分的結(jié)果實(shí)際上產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位。

即：4/5÷3

=（ 4÷3）/5→（4不可以剛好均分成3份）

=（4X3）/（5X3）÷3→（分子分母同時(shí)擴(kuò)大3倍，計(jì)數(shù)單位變成1/15 ）

=12/15÷3→（新的份數(shù)12除以整數(shù)做分子）

= 12÷3 →（分母不變）

= 4/15（均分得4個(gè)1/15）

通過(guò)以上過(guò)程，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的運(yùn)算，本質(zhì)上也是相同計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。

分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，仍然要引導(dǎo)學(xué)生明白計(jì)數(shù)單位不相同不可以直接算。以教材 5/6÷5/12=？為例，5/6的分?jǐn)?shù)單位是1/6，5/12的分?jǐn)?shù)單位是1/12，1/6和1/12共同的最小分?jǐn)?shù)單位是1/12，在統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的過(guò)程中，也就把相同計(jì)數(shù)單位分別進(jìn)行了運(yùn)算。

即：5/6÷5/12→（計(jì)數(shù)單位不同，不能直接運(yùn)算）

=10/12÷5/12→（分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一成1/12）

=（10÷5）÷（1/12÷1/12）→（分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)除以個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)單位除以分?jǐn)?shù)單位）

=2÷1

=2

分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，教師切不可以單向灌輸“一個(gè)數(shù)（零除外）除以分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的計(jì)算法則，這樣學(xué)生很難關(guān)聯(lián)相同計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的算理。

綜合分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算運(yùn)算的過(guò)程，不論是同分母分?jǐn)?shù)加減法、異分母分?jǐn)?shù)加減法，還是分?jǐn)?shù)乘除法，我們都要在學(xué)生理解是相同計(jì)數(shù)單位相加、相減、相乘、相除的基礎(chǔ)上，再總結(jié)各自簡(jiǎn)潔明了的運(yùn)算法則。從而順理成章地揭示整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算本質(zhì)上都是相同計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。

以上教學(xué)思考是居于一線教學(xué)中，部分教師簡(jiǎn)單粗糙地讓學(xué)生死記硬背計(jì)算法則，忽視算理，把各種數(shù)運(yùn)算方法孤立教給學(xué)生，沒(méi)能從根源上深入為學(xué)生溝通數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。在新課標(biāo)要求溝通數(shù)運(yùn)算本質(zhì)一致性的大背景下，希望本文粗淺的觀點(diǎn)能夠引發(fā)教學(xué)同仁更多的思考和關(guān)注，從而深入推動(dòng)小學(xué)數(shù)運(yùn)算本質(zhì)一致性的理解。