新課標(biāo)明確指出，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，學(xué)生要初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。數(shù)概念本質(zhì)上的一致性主要體現(xiàn)在兩個方面：一是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象;二是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的角度來認(rèn)識。

從數(shù)的概念發(fā)展史看，數(shù)來源于數(shù)，計數(shù)法的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的創(chuàng)造過程。數(shù)是由“十分之一、一（個）、十、百”等計數(shù)單位累加得到的。因為計數(shù)單位，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的本質(zhì)得到了貫通。通過尋找三者之間的聯(lián)系，學(xué)生不斷加深對數(shù)概念一致性的理解，體會計數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)作用。

一、基于生活經(jīng)驗，感悟計數(shù)單位的累加

小數(shù)的產(chǎn)生更多地源于生活中的需求。對于小數(shù)的教學(xué)，教師可以借助生活經(jīng)驗，通過創(chuàng)設(shè)文具店里的文具有不同的價格的情境，提出問題，從學(xué)生已有的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識小數(shù)，感悟計數(shù)單位的累加。

【片段1】從生活經(jīng)驗入手，多元表征，尋求共同特征

（1）活動要求活動要求如圖1。學(xué)生操作后交流。

想一想：0.3元是什么意思？

做一做：每人選擇合適的圖形，用自己的方式表示出0.3元。說一說：小組里說說自己的想法。

生1：我把1元平均分成10份，其中的3份就是0.3元。

師：為什么把1元平均分成10份？

生1：1元 ^-10 角。其中的1份就是1角，也就是 元，還可以寫成0.1元。3角是 元，還可以寫成0.3元。

生2：把這個正方形看作1元，平均分成10份，3份就是0.3元。

師：3個0.1元就是0.3元。

生3：把這條線段看作1元，平均分成10份，3份就是0.3元。

師：在這里，任意的3份都可以表示0.3元。

（2）觀察比較

師：同學(xué)們，剛剛你們選了這幾種材料來表示0.3元，觀察一下，你們選的這些材料，有什么共同特征呢？

生：都是平均分成10份。

師：是呀，把1元平均分成10份，每份就是 元，可以寫成0.1元。3份就是0.3元。 ¹ 角 元 =0.1 元。

（3）錯例改造

師（出示圖2、圖3、圖4）：這些能表示0.3元嗎？

生：沒有平均分成10份，不能表示0.3元。

師：圖4能不能想個辦法來改造改造，也能表示出0.3元呢？

生：把每個小長方形再平均分成5份，整個直條圖就平均分成了10份，其中的3份就表示0.3元。

學(xué)生通過呈現(xiàn)不同的表征結(jié)果，在十分之幾和零點(diǎn)幾之間建立起聯(lián)系，初步感知小數(shù)的含義。從具體實物硬幣的表征到圖形的表征再到語言的表征，學(xué)生的思維從實物上升到抽象狀態(tài)。學(xué)生通過觀察材料的共同特征，經(jīng)歷“確定1元一平均分成10份一其中的3份表示0.3元”這樣的過程，將膚淺的感知轉(zhuǎn)化為真正的理解。這是一次認(rèn)知的升華。同時，學(xué)生也從計數(shù)單位的角度，發(fā)現(xiàn)0.3元里有3個0.1元，初步感受到小數(shù)與整數(shù)的本質(zhì)都是相同計數(shù)單位累加的結(jié)果，它們之間存在一致性。

二、基于認(rèn)知經(jīng)驗，遷移計數(shù)單位的細(xì)分

整數(shù)和小數(shù)的外形不一樣，但本質(zhì)卻是一樣的，都是基于十進(jìn)制計數(shù)法，表示幾個相同計數(shù)單位的累加，這就是它們的一致性。小數(shù)是對整數(shù)的細(xì)分，一位小數(shù)就是將一個整數(shù)平均分成10份，每份就是0.1。

【片段2】借助數(shù)軸，自主感悟細(xì)分

教師出示數(shù)軸，介紹自然數(shù)和整數(shù)。

師：整數(shù)可以用直線上的點(diǎn)來表示，那小數(shù)能用直線上的點(diǎn)來表示嗎？

師：小數(shù)0.7，怎么找到它的準(zhǔn)確位置？

生：把0～1平均分成10份，其中的7份就是0.7。

教師介紹：數(shù)軸可以像這樣無限延長。

教師出示世界最高峰珠穆朗瑪峰巖面高程是8844.43米。

師：這個小數(shù)要在數(shù)軸上表示，可能在哪兒？發(fā)揮想象，大膽指一指。

師：你們覺得小數(shù)小嗎？在數(shù)軸上越往右，數(shù)就越大。

通過在數(shù)軸上表示數(shù)的位置，學(xué)生會借鑒整數(shù)的表示方式，自然地想到只要把1平均分成10份，就能找到小數(shù)，這是第二次認(rèn)知的升華。

【片段3】借助能量柱，自主遷移細(xì)分

師：隨著學(xué)習(xí)的深入，收集的能量也越來越多。

教師出示第一次收集的能量。（圖略）

師：把1根能量條平均分成10份，數(shù)一數(shù)，其中的6份就是0.6。得到6個0.1就是0.6。

教師出示第二次收集的能量。

師：同學(xué)們，我們收集的能量又添上了2個0.1，是多少呢？數(shù)一數(shù)。

生1：8個0.1就是0.8。

教師出示第三次收集的能量。

師：我們的能量比0.9還要多了，多多少呢？有什么好的計算方法嗎？

生2：把0.1再平均分成10份。

師：是啊，可以按照“滿十進(jìn)一”的規(guī)則繼續(xù)分下去。

能量柱貫穿整節(jié)課，體現(xiàn)了認(rèn)數(shù)的關(guān)鍵在于計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的累加。從0.6到0.8的增加，雖然是數(shù)出來的，但為后續(xù)小數(shù)的運(yùn)算提供了思路。隨著能量的增加，出現(xiàn)了不是整格的情況，學(xué)生通過自主遷移，提出可以將0.1繼續(xù)平均分成十份。如此，拓寬了學(xué)生的思路，也滲透了多位小數(shù)的知識。

三、基于數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建計數(shù)方法的模型

數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生直觀理解數(shù)的意義的重要方法，將抽象的數(shù)學(xué)概念變得更加具體。借助“形”能讓學(xué)生更直觀地認(rèn)識到小數(shù)的本質(zhì)是“計數(shù)單位的累加”。

【片段4】通過數(shù)形結(jié)合，歸納抽象小數(shù)的意義

（1）研究零點(diǎn)幾元出示直條圖（圖5）：

圖5

師：在這個線段圖上，你還會表示多少元呢？

師：6個0.1元就是0.6元。小數(shù)和整數(shù)一樣，都是可以數(shù)出來的。0.6元就是 元。

教師出示0.9元線段圖。

師：現(xiàn)在有幾個0.1元了？（9個）添上1個0.1元就是10個0.1元，也就是1元。

師：觀察這些小數(shù)和分?jǐn)?shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：有幾個 元就是十分之幾元， 六元可以寫成0.1元，有幾個0.1元就是零點(diǎn)幾元。

（2）研究零點(diǎn)幾米

教師出示花邊1和花邊2（圖略），將2條花邊平均分成10份。請學(xué)生數(shù)一數(shù)長度。

生1：（花邊1）4個0.1米就是0.4米。（花邊2）8個0.1米就是0.8米。

師（小結(jié)）：花邊的長度都不滿1米，有幾個 米就是十分之幾米， 米還可以寫成0.1米。有幾個0.1米就是零點(diǎn)幾米。

（3）抽象概括十分之幾和零點(diǎn)幾的聯(lián)系

師：如果把1米和1元等都看作“1”，把“1”平均分成10份（圖6），觀察產(chǎn)生的這些分?jǐn)?shù)和小數(shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

圖6

師（總結(jié)）：當(dāng)不滿1時，幾個 就是十分之幾，有幾個0.1就是零點(diǎn)幾。

借助形承載數(shù)，能使學(xué)生更易理解小數(shù)的本質(zhì)是“基于十進(jìn)制計數(shù)法”。在學(xué)生初步感知0.6元的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生在數(shù)一數(shù)的過程中，理解不滿1元時，有幾個0.1元就是零點(diǎn)幾元。同樣，當(dāng)長度不滿1米時，有幾個0.1米就是零點(diǎn)幾米。接著，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖抽象出1和0.1之間的關(guān)聯(lián)，初步建立0.1的概念。

【片段5】通過數(shù)形結(jié)合，將小數(shù)概念外延

師：想一想，在用圖表示這些小數(shù)的時候，有什么相同的地方呢？

生：都是平均分成10份。

師：是呀，不管是零點(diǎn)幾的小數(shù)還是幾點(diǎn)幾的小數(shù)，在表示時，我們都要把1平均分成10份，不滿1時，有幾個0.1就是零點(diǎn)幾，再與整數(shù)部分合起來就是幾點(diǎn)幾。

通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生自主理解當(dāng)用整數(shù)不能表達(dá)時，就要把計數(shù)單位“個”平均分成十份，一份就是“個”的十分之一，然后再數(shù)一數(shù)有幾個這樣的計數(shù)單位。整個過程，緊扣計數(shù)單位的累加，幫助學(xué)生感受和理解一位小數(shù)的含義。這既凸顯了小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，又有利于他們初步感受數(shù)概念的一致性。

四、基于核心概念，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

新課標(biāo)提出了“對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”的理念?；趯W(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計的學(xué)習(xí)活動，能夠使他們較好地把握數(shù)概念發(fā)展的內(nèi)在邏輯，形成數(shù)感和符號意識。

【片段6】借助計數(shù)器，在推理中溝通數(shù)的一致性

教師出示計數(shù)器，依次展示1，10，100，1000，10000。

教師指出：都是滿十進(jìn)一。

師：看，同樣一顆珠子，在不同的位置表示的數(shù)的大小就不同。還能繼續(xù)往左嗎？

師：如果要表示0.1，這1顆珠子應(yīng)該撥在什么位置呢？

生1：個位的后面。

師：是的，從左往右，都是平均分成10份得到右邊這位的。

師：現(xiàn)在在這個位置撥這一顆珠，表示的數(shù)就是0.1。繼續(xù)數(shù)，0.2至0.9。再來一個0.1呢？10個0.1就是1。

師（小結(jié)）：小數(shù)跟整數(shù)一樣，都可以數(shù)出來，都是滿十進(jìn)一。

師：我們今天認(rèn)識的都是一位小數(shù)，一位小數(shù)都是由0.1累加得到的。

設(shè)計撥珠子的活動，讓學(xué)生在數(shù)的過程中直觀地認(rèn)識滿十進(jìn)一，珠子撥在個位，是計數(shù)單位“一”的累加；撥在十位，是計數(shù)單位“十”的累加…相同數(shù)量的珠子在不同的數(shù)位上表示的數(shù)的大小是不同的，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識了位值制和十進(jìn)制。接著，學(xué)生在分析和推理中創(chuàng)造出了一位小數(shù)的計數(shù)單位，是由“1”細(xì)分得到的。以個位為中心，計數(shù)單位實現(xiàn)了向兩側(cè)延伸，真正意義上將小數(shù)納入整數(shù)的學(xué)習(xí)體系，體現(xiàn)“數(shù)的認(rèn)識”體系的不斷發(fā)展與完善，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的正遷移。

【片段7】借助核心概念，在交流中形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，這些數(shù)

之間有什么聯(lián)系呢？

生1：都是滿十進(jìn)一。

生2：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都能表示成“幾個幾”。第一個“幾”是說有幾個這樣的計數(shù)單位。第二個“幾”是“百、十、一”等，都是計數(shù)單位。

生3：比較整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)時，都要轉(zhuǎn)化成相同的計數(shù)單位，實際上就是比計數(shù)單位的個數(shù)。

課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，彰顯了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性，揭示了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)特征，對學(xué)生核心素養(yǎng)的形成至關(guān)重要。就數(shù)學(xué)而言，數(shù)的表達(dá)有共同之處，都是借助“計數(shù)單位”。部分學(xué)生也能自主遷移知識，察覺到數(shù)的大小比較本質(zhì)上是比較“相同計數(shù)單位個數(shù)的多少”，進(jìn)而感悟數(shù)的大小比較和數(shù)的概念具有一致性。在這樣的過程中，學(xué)生能夠在認(rèn)數(shù)中探本求源，感悟數(shù)學(xué)概念的一致性，不斷完善數(shù)系結(jié)構(gòu)，使思維走向深刻。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]楊怡.以計數(shù)單位為核心，感悟數(shù)的概念一致性：“數(shù)的認(rèn)識總復(fù)習(xí)”教學(xué)實踐與思考[].小學(xué)教學(xué)研究，2024（16）.