數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性和邏輯性，需通過(guò)持續(xù)性思維活動(dòng)、多維度探究分析以及自我元認(rèn)知調(diào)控等“悟”的認(rèn)知機(jī)制，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的深層理解.

1學(xué)習(xí)中“悟”的觸發(fā)機(jī)制

1.1“悟”是學(xué)生認(rèn)知?jiǎng)討B(tài)發(fā)展的助推器

學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一種連續(xù)性認(rèn)知過(guò)程，任何新知的獲取均需建構(gòu)在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之上，或在特定維度對(duì)先前學(xué)習(xí)成果進(jìn)行遷移應(yīng)用.當(dāng)學(xué)生尚未真正理解知識(shí)的本質(zhì)時(shí)，他們的既有知識(shí)、過(guò)往經(jīng)驗(yàn)與當(dāng)前所學(xué)往往呈離散狀態(tài)，缺乏內(nèi)在聯(lián)系.要實(shí)現(xiàn)既有認(rèn)知到本質(zhì)理解的跨越，或在知識(shí)間搭建橋梁，則需借助特定的認(rèn)知媒介—這便是學(xué)習(xí)中“悟”的產(chǎn)生動(dòng)因.按照波蘭尼“意會(huì)認(rèn)識(shí)論”的觀點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生聚焦于深度理解知識(shí)本質(zhì)和構(gòu)建新舊知識(shí)間的關(guān)聯(lián)時(shí)，他們的既有知識(shí)和過(guò)往經(jīng)驗(yàn)將起到“助推”作用[].此時(shí)，必然要經(jīng)歷“由此及彼”的“轉(zhuǎn)悟”過(guò)程，這種“轉(zhuǎn)悟”本質(zhì)上意味著認(rèn)知圖式的重構(gòu)與元認(rèn)知層級(jí)的范式躍遷.當(dāng)學(xué)習(xí)中“悟”實(shí)現(xiàn)時(shí)，知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)將會(huì)協(xié)同性變化，并與當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性實(shí)現(xiàn)深度融合.學(xué)生、已有經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)三者共同構(gòu)成了“悟”的內(nèi)在表征載體，三者交互作用形成有機(jī)的連續(xù)統(tǒng)一體.這種連續(xù)統(tǒng)一體通過(guò)持續(xù)的“同化”“順應(yīng)”，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的整體性融貫與創(chuàng)造性重構(gòu)[2].

1.2“悟”是學(xué)生在特定學(xué)習(xí)“場(chǎng)域”中主體性發(fā)生

學(xué)生學(xué)習(xí)中的“悟”具有不可直接傳授的特性，其發(fā)生必然依托特定的學(xué)習(xí)“場(chǎng)域”，學(xué)生課內(nèi)外主動(dòng)參與與支配的各類知覺(jué)活動(dòng)以及由活動(dòng)激發(fā)的認(rèn)知活動(dòng)與思維活動(dòng)，都表現(xiàn)出主體性.同時(shí)，師生之間存在的專業(yè)勢(shì)差、認(rèn)知代差以及教材預(yù)設(shè)與知識(shí)實(shí)存間的結(jié)構(gòu)性落差，這些差異讓學(xué)生處于“困”與“惑”“憤”與“悱”的狀態(tài)，這恰是學(xué)習(xí)中“悟”發(fā)生的關(guān)鍵所在.另外，師生之間、生生之間以及學(xué)生與知識(shí)之間的多維度交互，導(dǎo)致學(xué)習(xí)“場(chǎng)域”中出現(xiàn)“漲落現(xiàn)象\"（學(xué)習(xí)動(dòng)力下降、參與度降低、認(rèn)知沖突等）[2]，在這些漲落現(xiàn)象中，學(xué)生的元認(rèn)知將進(jìn)行自我調(diào)節(jié)與自我優(yōu)化.因此，學(xué)生學(xué)習(xí)中“悟”的實(shí)現(xiàn)，本質(zhì)上是學(xué)生在特定學(xué)習(xí)“場(chǎng)域”中主體參與的結(jié)果，也是對(duì)自身認(rèn)知?jiǎng)菽苓M(jìn)階性轉(zhuǎn)化的結(jié)果.

1.3“悟”是學(xué)生心理完形的整體性重構(gòu)

從認(rèn)知心理學(xué)視角審視，“悟”的本質(zhì)是心理完形的重構(gòu)過(guò)程.當(dāng)新的認(rèn)知對(duì)象打破已有心理平衡時(shí)，思維系統(tǒng)便會(huì)出現(xiàn)格式塔缺口，而“悟”的發(fā)生正是新完形對(duì)認(rèn)知缺口的創(chuàng)造性彌合[3].李洪君提出的“類化統(tǒng)覺(jué)”理論指出，個(gè)體的“悟性”具體體現(xiàn)在對(duì)表象材料進(jìn)行范式遷移以及相似性統(tǒng)合的過(guò)程中，認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)中的“悟”是對(duì)知識(shí)整體性的把握，這種整體性認(rèn)知根植于知識(shí)的結(jié)構(gòu)性[4].柯勒同樣指出，思維進(jìn)程、學(xué)習(xí)機(jī)制等認(rèn)知活動(dòng)均受到整體情境的深刻影響[5].由此可見(jiàn)，“悟”的本質(zhì)特征在于：它是認(rèn)知格式塔的一次范式轉(zhuǎn)換，是身心協(xié)同作用下的頓悟式重構(gòu)，而非零散表象的簡(jiǎn)單機(jī)械聯(lián)結(jié).這種整體性認(rèn)知不僅遵循“整體先于部分”的格式塔法則，而且在知識(shí)建構(gòu)過(guò)程中，特別強(qiáng)調(diào)知識(shí)模塊的關(guān)聯(lián)整合，促進(jìn)整體性認(rèn)知圖式的形成，最終實(shí)現(xiàn)“認(rèn)知模糊態(tài)向清晰態(tài)、困惑態(tài)向理解態(tài)”的心理完形的整體性重構(gòu).

“悟”的觸發(fā)機(jī)制表明，它的生成與發(fā)展絕非教師單向灌輸知識(shí)所能實(shí)現(xiàn)，更非實(shí)用主義推崇的“刺激一反應(yīng)”機(jī)械式訓(xùn)練可達(dá)成.若學(xué)生缺乏主動(dòng)的概念同化、實(shí)踐感知、反思糾錯(cuò)、系統(tǒng)編碼及認(rèn)知整合能力，知識(shí)就只能作為孤立的符號(hào)，淺層次地附著在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表層.這種淺層附著不僅阻礙學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，而且難以轉(zhuǎn)化為遷移應(yīng)用時(shí)的思維支點(diǎn).因此，為了克服“多講少悟”的教學(xué)困境，教師應(yīng)采取有效策略促進(jìn)學(xué)生主體參與和深度思考，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)的單向接受到思悟重構(gòu)的轉(zhuǎn)變，在多種學(xué)習(xí)活動(dòng)中激活開(kāi)放性思維和批判性思維，由此培育學(xué)生學(xué)習(xí)的“悟性”與“悟力”，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)在覺(jué)醒.

2數(shù)學(xué)“悟中學(xué)”的要義闡釋

數(shù)學(xué)是一門(mén)強(qiáng)調(diào)思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“悟”是進(jìn)行思維活動(dòng)的核心樞紐，它要求學(xué)生通過(guò)整體性的思維操作實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的有機(jī)整合，這個(gè)思維加工的過(guò)程是促成認(rèn)知“同化”與“順應(yīng)”不可或缺的躍遷.如果忽視這種思維操作，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)將會(huì)出現(xiàn)斷層：新知識(shí)無(wú)法牢固地融入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而是以碎片化形式浮于認(rèn)知結(jié)構(gòu)表層，這種非整合化的知識(shí)在提取時(shí)往往較為模糊甚至遲滯，導(dǎo)致具體應(yīng)用時(shí)的認(rèn)知失調(diào)，便成了“懂而不會(huì)”.史寧中教授曾指出“悟”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考或與他人交流，最終自己‘悟'出來(lái)的…”

“悟中學(xué)”既是一種教學(xué)主張，也是一種方法論層面的教學(xué)實(shí)踐模式.它是以“學(xué)為中心”為基本理念，主張通過(guò)“悟”的認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、促成深度理解數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式.“悟中學(xué)”旨在激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗(yàn)，激活其內(nèi)在認(rèn)知能動(dòng)性，通過(guò)主體性反思、實(shí)踐參與和經(jīng)驗(yàn)整合，培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)的學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)與能力發(fā)展.

基于數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，“悟中學(xué)”可分為五個(gè)階段：機(jī)械操作階段，表現(xiàn)為拘泥于公式定理的機(jī)械記憶與題型套用，尚未能深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；概念覺(jué)醒階段，開(kāi)啟對(duì)數(shù)學(xué)定義的溯源進(jìn)行探究，主動(dòng)追溯數(shù)學(xué)概念的邏輯本源，系統(tǒng)辨析數(shù)學(xué)定理成立的前提條件；結(jié)構(gòu)貫通階段，建立起知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)結(jié)，建構(gòu)起層次分明的認(rèn)知框架，將抽象概念轉(zhuǎn)化為具體可操作的思維模式；范式遷移階段，實(shí)現(xiàn)方法論突破，不僅能靈活應(yīng)用既有思維方式，更能創(chuàng)造性地構(gòu)建問(wèn)題解決模型；數(shù)學(xué)直覺(jué)階段，運(yùn)用非形式化的推理預(yù)判結(jié)論，自主構(gòu)建新的論證范式.這五個(gè)階段不僅完整映射數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三維目標(biāo)（具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀[），更精準(zhǔn)折射出學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的動(dòng)態(tài)歷程，為個(gè)性化設(shè)計(jì)“悟”的不同教學(xué)活動(dòng)提供理論支撐.

3數(shù)學(xué)\"悟中學(xué)\"的組織邏輯

3.1情境浸潤(rùn)：“悟中學(xué)”的生成載體

數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取依賴于問(wèn)題情境、理論范式、語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)與實(shí)踐活動(dòng)，具有顯著的時(shí)空依賴性.這種認(rèn)知特性表明了“悟”與情境之間的共生關(guān)系——只有將學(xué)生置于實(shí)踐情境的認(rèn)知生態(tài)中，其認(rèn)知才能獲得生長(zhǎng)與躍遷.情境之所以能催化“悟”，關(guān)鍵在于它擁有三重“融合”功能：一是通過(guò)情境激活了學(xué)生既有的知識(shí)體系，建構(gòu)了新舊認(rèn)知之間的邏輯聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)要素與學(xué)習(xí)客體的有機(jī)融合；二是通過(guò)情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義建構(gòu)，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)向新的思維圖式的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)實(shí)踐行為與思維活動(dòng)的有效融合；三是通過(guò)情境將數(shù)學(xué)中的抽象概念具象化為可感知、可操作的認(rèn)知對(duì)象，為學(xué)生搭建了個(gè)體認(rèn)知與現(xiàn)實(shí)世界的交互載體，實(shí)現(xiàn)個(gè)體與觀念的有力融合.

如果說(shuō)情境是“悟”的觸發(fā)器，那么數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的“思維活動(dòng)”則是“悟”的助推器.通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的具身體驗(yàn)，將學(xué)生的思維引向探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)之中.基于情境一問(wèn)題的活動(dòng)可按如下步驟進(jìn)行：首先由情境催生問(wèn)題，將學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的思維活動(dòng)；其次充分留足學(xué)生思維的時(shí)間與空間，在深度思考中孕育“悟”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深人探究，實(shí)現(xiàn)具身認(rèn)知，讓學(xué)生在探究中深刻感悟知識(shí)的本質(zhì);最后在遷移應(yīng)用中鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正理解知識(shí)的本質(zhì).

3.2結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)：“悟中學(xué)”的組織關(guān)鍵

基于前文論述可知，學(xué)習(xí)場(chǎng)域中的“悟”呈現(xiàn)顯著的整體性特征，學(xué)生的頓悟現(xiàn)象必然生成于知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的整體性聯(lián)結(jié)與融貫過(guò)程之中.知識(shí)結(jié)構(gòu)體系通過(guò)構(gòu)建整體與局部間的邏輯關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)習(xí)者能夠激活知識(shí)間固有的邏輯聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和認(rèn)知模式的轉(zhuǎn)變，這一機(jī)制為知識(shí)遷移應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

在教學(xué)實(shí)踐中，教師需要有結(jié)構(gòu)化教學(xué)的意識(shí)，并且在課時(shí)實(shí)施時(shí)合理運(yùn)用結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略.基于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)和知識(shí)體系，設(shè)計(jì)與組織“邏輯連貫、前后一致”的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化教學(xué)促使知識(shí)由孤立狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗷ヂ?lián)系，探究過(guò)程也由雜亂無(wú)章變得井然有序，學(xué)習(xí)成果則由表面理解深入到本質(zhì)掌握，促進(jìn)思維從割裂整合為系統(tǒng).結(jié)構(gòu)化教學(xué)組織將搭建新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生激活當(dāng)前知識(shí)與先有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“悟”提供支架，進(jìn)而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的境界.

3.3引導(dǎo)生成：“悟中學(xué)”的實(shí)施路向

當(dāng)下課堂，均勻分割的課時(shí)結(jié)構(gòu)將“思維留白”“認(rèn)知緩沖”“靈感跳躍”等“悟”的關(guān)鍵元素異化，此類\"知識(shí)搬運(yùn)型”課堂僅僅停留于信息的堆砌，嚴(yán)重阻滯了“悟”的發(fā)生.基于最近發(fā)展區(qū)理論，教師需在了解學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平的基礎(chǔ)上，在學(xué)生“心求通而未得”“口欲言而未能”的時(shí)機(jī)，進(jìn)行“啟其思、通其竅”的教學(xué)引導(dǎo)，以此激活認(rèn)知躍遷的“頓悟時(shí)刻”，這正印證了孔子“不憤不啟，不悱不發(fā)”的經(jīng)典論述，學(xué)習(xí)的“憤悱”狀態(tài)實(shí)為新舊認(rèn)知圖式激烈碰撞產(chǎn)生的思維共振.

教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生認(rèn)知斷層處設(shè)置概念理解的腳手架，在思維阻滯點(diǎn)構(gòu)建元認(rèn)知體驗(yàn)與調(diào)控系統(tǒng).通過(guò)建構(gòu)主義導(dǎo)向的元認(rèn)知提示策略，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“認(rèn)知沖突—概念解構(gòu)—意義建構(gòu)一遷移應(yīng)用”的完整思維循環(huán)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授向思維訓(xùn)練的范式轉(zhuǎn)型.在此過(guò)程中，學(xué)生個(gè)體的“悟性”將會(huì)被不同程度地激活，實(shí)現(xiàn)從單向接受知識(shí)到素養(yǎng)為本的本質(zhì)跨越.

3.4經(jīng)驗(yàn)遷移：“悟中學(xué)\"的內(nèi)驅(qū)要素

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“內(nèi)在的完備（先有經(jīng)驗(yàn)）與外在的證實(shí)（知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)）是真理實(shí)現(xiàn)的兩個(gè)前提條件.”[7]“悟”正是基于學(xué)生先有經(jīng)驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)”始終貫穿“悟”的全程之中.從認(rèn)知角度講，學(xué)生學(xué)習(xí)中所有的感知活動(dòng)都建立在經(jīng)驗(yàn)的基石之上，當(dāng)新知識(shí)作用于學(xué)生的感知系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)與知覺(jué)相互融合，共同構(gòu)建成新的動(dòng)態(tài)認(rèn)知整體.

如果要培養(yǎng)學(xué)生深層次的“悟”，就必須高度重視學(xué)生元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的累積.不可否認(rèn)，學(xué)生在“悟”上的表現(xiàn)呈現(xiàn)出顯著差異，這既體現(xiàn)在認(rèn)知的深度上，也反映在經(jīng)驗(yàn)的重構(gòu)過(guò)程中.作為認(rèn)知主體，學(xué)生兼有經(jīng)驗(yàn)自主積累者與整合重構(gòu)者的雙重身份.經(jīng)驗(yàn)豐富度與知覺(jué)敏銳度緊密相關(guān)，經(jīng)驗(yàn)越豐富越容易觸發(fā)知覺(jué)系統(tǒng)運(yùn)行，知覺(jué)越敏感越容易在認(rèn)知過(guò)程中觸發(fā)“悟”的發(fā)生，不僅提供了更多的激活方式，還對(duì)認(rèn)知進(jìn)程中若干環(huán)節(jié)進(jìn)行“調(diào)控”與“適配”，學(xué)生原有的元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)一方面為新的認(rèn)知活動(dòng)提供支持，同時(shí)又會(huì)進(jìn)行新的元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)重構(gòu).

4數(shù)學(xué)\"悟中學(xué)\"的實(shí)施策略

4.1啟思：通過(guò)“學(xué)科實(shí)踐\"實(shí)現(xiàn)悟中學(xué)

教學(xué)中應(yīng)以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，有機(jī)融合真實(shí)情境中的實(shí)踐任務(wù)，在實(shí)踐中理解數(shù)學(xué)本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷情境體驗(yàn)、具身操作、方案試錯(cuò)、協(xié)作對(duì)話、反思頓悟等多維度的認(rèn)知過(guò)程，形成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的具象化、立體式理解.通過(guò)“知—行一思”三位一體的學(xué)習(xí)循環(huán)，使學(xué)生在情境浸潤(rùn)式的任務(wù)解決中，通過(guò)具身化的實(shí)踐參與來(lái)深化概念的理解，最終實(shí)現(xiàn)從行為實(shí)踐到思維生長(zhǎng)的跨越，達(dá)成領(lǐng)悟式學(xué)習(xí)[8].

比如，在學(xué)習(xí)“基本不等式”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)繪制弦圖.

圖1

圖1展示了學(xué)生利用尺規(guī)制作的多種形狀的弦圖.通過(guò)作圖不僅讓學(xué)生直觀地領(lǐng)略不同弦圖的構(gòu)造之美，而且將實(shí)際操作與想象構(gòu)思有機(jī)結(jié)合，極大地增強(qiáng)了他們的直觀想象和創(chuàng)造性思維.

在創(chuàng)作出“作品”后，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)視角去品鑒.這里的“數(shù)學(xué)視角\"實(shí)質(zhì)上是一種理性的審美傾向，展現(xiàn)了每個(gè)學(xué)生對(duì)美的個(gè)性化理解和標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生們從多元化的視角感悟各自心中的數(shù)學(xué)之美.

學(xué)生1：我更偏愛(ài)六葉弦圖，其內(nèi)角廣闊，邊數(shù)繁復(fù)，形態(tài)宛若圓滿之形，更顯宏偉而溫婉，對(duì)稱之美躍然紙上.

學(xué)生2：六葉弦圖同樣吸引我，它令我聯(lián)想到蘇州園林中的雕花窗，如圖2，許多園林花窗構(gòu)圖相似，唯有六葉弦圖，其內(nèi)部線條更添繁復(fù)細(xì)膩之韻.因此，六葉弦圖蘊(yùn)含著一種古典之美.

圖2

學(xué)生3：我傾向于六葉弦圖，其邊數(shù)繁多，猶如循環(huán)不息之波瀾，展現(xiàn)出蓬勃生動(dòng)的動(dòng)態(tài)之美，

學(xué)生4：我傾向于五葉弦圖，其精妙融合內(nèi)角36^°，72^°，72^° 之等腰三角形，構(gòu)筑獨(dú)特“黃金三角形”結(jié)構(gòu)，宛若自然之手筆，洋溢著神秘迷人的魅力.由此，五葉弦圖彰顯出和諧之美.

學(xué)生5：我認(rèn)為三葉弦圖更美，因?yàn)槿切伪旧砭哂蟹€(wěn)定性，三葉弦圖因此也象征著穩(wěn)定性.三角形，作為研究圖形的基石，穩(wěn)固了數(shù)學(xué)大廈的根基，同時(shí)又蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的變化，正如三葉弦圖一般，簡(jiǎn)約中蘊(yùn)含著深邃的智慧與美感.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)掘弦圖中蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)一步深入圖形內(nèi)部探索對(duì)象間關(guān)系則屬于更深層次的感悟.學(xué)生需不斷地嘗試與探索，可能結(jié)果或推導(dǎo)過(guò)程頗為復(fù)雜，需不斷調(diào)整和優(yōu)化；也有可能受阻或出錯(cuò)，迫使學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，重新審視問(wèn)題，等等，這些挑戰(zhàn)都旨在促進(jìn)學(xué)生的高階思維能力

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1，AE=a，BE=b ，如圖3，學(xué)生發(fā)現(xiàn)： .AB?AE+BE?AO+BO ，即 1?a+ 5 EF?OG ，即

學(xué)生發(fā)現(xiàn)： EG?EF ，即

圖3

圖4

在圖4中學(xué)生發(fā)現(xiàn)： √a2+b2，所以得a+b

以上過(guò)程展現(xiàn)了學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)的各種不等關(guān)系，這不僅體現(xiàn)了他們能用心感悟弦圖中隱藏的數(shù)學(xué)奧秘，而且代表了一種富有創(chuàng)造性的體驗(yàn).這種體驗(yàn)不僅超越了單純結(jié)論的獲取，更是一種深層的體悟過(guò)程，為學(xué)生們?cè)谛闹菍用嫔蠋?lái)了雙重收獲.

4.2凝智：通過(guò)“整理內(nèi)化\"實(shí)現(xiàn)悟中學(xué)

實(shí)踐表明，在完成特定知識(shí)模塊的學(xué)習(xí)后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)性地梳理小結(jié)，借助概念圖譜、思維導(dǎo)圖及層級(jí)結(jié)構(gòu)圖等可視化工具，完成知識(shí)結(jié)構(gòu)的多維立體呈現(xiàn)（不同于表層的知識(shí)點(diǎn)羅列）與深度建構(gòu).該過(guò)程聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的有機(jī)整合，通過(guò)揭示概念間的邏輯關(guān)聯(lián)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化，最終達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深層理解.

如在學(xué)完“不等式”單元后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行單元知識(shí)梳理小結(jié)，以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖、概念關(guān)系網(wǎng)作為顯性化載體，將內(nèi)隱的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為具象的知識(shí)圖譜[9].

認(rèn)知發(fā)展規(guī)律揭示，學(xué)生知識(shí)體系的形成經(jīng)歷著螺旋式進(jìn)階過(guò)程.系統(tǒng)性認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，需要依托持續(xù)的概念整合與思維統(tǒng)整.因此，教師應(yīng)把握時(shí)機(jī)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系.通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)資源（如教材、課堂筆記、練習(xí)本等）進(jìn)行重新組織，運(yùn)用圖解、樹(shù)狀網(wǎng)絡(luò)或模塊化圖表等多元化形式進(jìn)行知識(shí)的再理解，將零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)并提煉成學(xué)習(xí)單元中的“大概念”（或“大觀念”），對(duì)知識(shí)的來(lái)龍去脈、邏輯關(guān)系進(jìn)行深度的思維回.這種系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知過(guò)程就是追本溯源、觸類旁通的“感悟”過(guò)程，更是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的整體性“領(lǐng)悟”過(guò)程.不僅鞏固了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)，還進(jìn)一步培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，促使他們形成條理清晰、邏輯嚴(yán)密的思維品質(zhì).

4.3 悟道：通過(guò)“訂正反思”實(shí)現(xiàn)悟中學(xué)

認(rèn)知診斷理論指出，在認(rèn)知過(guò)程的起始階段，前概念偏差所形成的錨定效應(yīng)，會(huì)引發(fā)知識(shí)表征系統(tǒng)出現(xiàn)一些認(rèn)知偏差，且該認(rèn)知偏差的遷移效應(yīng)會(huì)顯著影響問(wèn)題解決的結(jié)果.“訂正反思”就是針對(duì)這樣的認(rèn)知偏差而引導(dǎo)學(xué)生實(shí)施的具體舉措，實(shí)證研究表明，通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的深度剖析和系統(tǒng)性總結(jié)，從具體問(wèn)題上升到對(duì)知識(shí)本質(zhì)、思維邏輯或方法論的深層理解.

在“訂正反思”中，首先運(yùn)用歸因理論對(duì)“錯(cuò)誤”進(jìn)行歸因分析，完整呈現(xiàn)產(chǎn)生錯(cuò)誤理解的認(rèn)知根源，并對(duì)這些根源進(jìn)行多維分析，通過(guò)對(duì)比“正確解法”與“錯(cuò)誤解法”的錯(cuò)位和差異之處，最終經(jīng)由自我解釋策略完成認(rèn)知圖式的重構(gòu)性表達(dá).在此過(guò)程中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生建立個(gè)性化錯(cuò)題歸因機(jī)制，鼓勵(lì)其根據(jù)自身認(rèn)知風(fēng)格選擇適宜的表征方式（如錯(cuò)題分類、解題反思等），實(shí)現(xiàn)“事實(shí)性知識(shí)”向“方法性知識(shí)”再到“價(jià)值性知識(shí)”[10]的有效轉(zhuǎn)化.這樣的“訂正反思\"模式涵蓋偏差溯源、策略比較及認(rèn)知重構(gòu)三重加工機(jī)制，不僅全面揭示了認(rèn)知偏差的成因，還深化了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，與此同時(shí)，還可以通過(guò)激疑生惑構(gòu)建思維支點(diǎn)，借助問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、深度探究、協(xié)作對(duì)話及思辨論證，最終自主建構(gòu)出合理結(jié)論、創(chuàng)新方案或獨(dú)特見(jiàn)解，實(shí)現(xiàn)從“術(shù)”到“道”的認(rèn)知躍遷過(guò)程，為后續(xù)元認(rèn)知重構(gòu)搭建起結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)框架.實(shí)際上，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程是以批判性思維培養(yǎng)為核心，著重發(fā)展學(xué)生元認(rèn)知能力與自主學(xué)習(xí)品質(zhì)，通過(guò)系統(tǒng)化歸因分析實(shí)現(xiàn)頓悟覺(jué)醒，在培育數(shù)學(xué)直覺(jué)與學(xué)科悟性的過(guò)程中，鍛造創(chuàng)新思維品質(zhì)與學(xué)科核心素養(yǎng).

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作者簡(jiǎn)介丁益民（1981—），男，江蘇姜堰人，正高級(jí)教師，江蘇省“蘇教名家”培養(yǎng)對(duì)象；研究方向?yàn)橹袑W(xué)教材教法研究.