《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界[1]，規(guī)范的數(shù)學(xué)解題書寫能力是其表征之一，能否恰當(dāng)、準(zhǔn)確、有邏輯地書寫解題過程體現(xiàn)了學(xué)生思維能力和核心素養(yǎng)的高低，學(xué)會正確、合理地使用數(shù)學(xué)書面語言是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一項基本而重要的任務(wù)[2].調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實中學(xué)生解題書寫能力較弱情況存在，并與教師教學(xué)理念和行為關(guān)聯(lián)[3-4]，為此，須進一步探究解題書寫能力的內(nèi)涵本質(zhì)并完善實踐路徑.

1背景意義

培養(yǎng)學(xué)生解題書寫能力伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的過程始終，與學(xué)業(yè)成績密切相關(guān).學(xué)生解題書寫能力是教學(xué)評價維度之一，多個研究實踐案例表明，數(shù)學(xué)解題書寫與學(xué)業(yè)成績呈顯著性較高的相關(guān)關(guān)系，書寫水平的高低會影響學(xué)生學(xué)業(yè)成績[3，4，6]，受高考評價導(dǎo)向作用影響，重視學(xué)生規(guī)范書寫能力已成為教學(xué)常識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題書寫能力具有較強的現(xiàn)實意義.

培養(yǎng)學(xué)生解題書寫能力可在提高學(xué)生思維能力與學(xué)科素養(yǎng)同時實現(xiàn)學(xué)科育人.語言是思維的外衣，書寫是思維表達的工具之一，數(shù)學(xué)解題過程是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的外顯載體.規(guī)范的書面表達可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹求實的科學(xué)態(tài)度，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯思維品質(zhì)和理性精神，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹求實的科學(xué)精神，實現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的學(xué)科育人目的[1].

2 現(xiàn)狀分析

為尋找針對性解決措施，必須厘清現(xiàn)實中存在的問題，可以從師、生兩個角度分析.

學(xué)生解題書寫過程中出現(xiàn)的“癥狀”林林總總，因?qū)W生個體差異而不同.現(xiàn)實中常見以下幾個方面：一是數(shù)學(xué)語言綜合應(yīng)用能力差，比如缺少文字說明、詞不達意、數(shù)學(xué)符號使用錯誤混亂、數(shù)學(xué)圖形不準(zhǔn)確、未知量表述不清等[3]；二是邏輯鏈條斷裂、條理性差，比如漏步、跳步、重結(jié)論輕過程、不寫關(guān)鍵公式、定理與變形過程、不出現(xiàn)條件應(yīng)用、書寫順序隨心所欲等；三是書寫不規(guī)范、布局沒計劃，比如胡涂亂抹嚴(yán)重、字體忽大忽小、邊界感差、表述冗余不簡潔等；四是態(tài)度不端正，比如書寫解題無關(guān)內(nèi)容嘩眾取寵、字跡潦草難以辨識、亂寫胡寫錯誤引導(dǎo)等等.

從教師角度分析，存在示范不足、要求不嚴(yán)、途徑單一、缺乏指導(dǎo)等情況[4].常見以下狀況，教師的刷題教學(xué)擠占了學(xué)生有效學(xué)習(xí)時間，導(dǎo)致學(xué)生對規(guī)范解題失去自我要求，改變學(xué)生長期錯誤的書寫習(xí)慣變得更為困難；教師過度關(guān)注解法和答案正誤，對解題過程重視不足，對學(xué)生放松要求；傳統(tǒng)板書少、多媒體展示多影響學(xué)生對規(guī)范解題的重視與書寫方法理解；教師缺乏對學(xué)生進行有效、詳盡的學(xué)法指導(dǎo)和針對性分析評價等等.

3 本質(zhì)探究

3.1數(shù)學(xué)解題書寫能力是一種綜合素養(yǎng)

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，也是數(shù)學(xué)交流的工具.按照教育心理學(xué)的觀點，解題過程就是以思維為主導(dǎo)、以題目為定向的高級心理活動過程，學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)解題能力必須做到能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達自己的思維活動過程，并做到表述規(guī)范[5]，這是針對于解題者自身的要求.然而，數(shù)學(xué)又不僅僅是思維上推理和演算的工具，還是表達和交流的語言，我們知道，語言交流具有對象感.事實上，數(shù)學(xué)解題書寫過程也是解題者與閱讀者的一個思想交流、思維碰撞的過程，規(guī)范的書寫可以幫助閱讀者正確、迅速、高效的理解題者表述的方法內(nèi)容本質(zhì).

數(shù)學(xué)解題書寫能力是指將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點、思想、方法、過程等用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)書面語言準(zhǔn)確流暢地表達出來的能力[5].數(shù)學(xué)是由問題構(gòu)成的，按照問題解決論的觀點，數(shù)學(xué)解題書寫過程是數(shù)學(xué)問題分析解決的書面表達過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能的運用，反應(yīng)學(xué)生思維和問題解決水平，通過對書寫過程反思也可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學(xué)問題，并且數(shù)學(xué)解題書寫過程評價體現(xiàn)學(xué)生個性品質(zhì)和審美觀念.因此，高中數(shù)學(xué)解題書寫能力可以實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識、思維能力與品格涵養(yǎng)的融合，是學(xué)生的一種綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2數(shù)學(xué)解題書寫能力的四個特征屬性

把語言表達的要求與數(shù)學(xué)學(xué)科特點相結(jié)合，數(shù)學(xué)解題書寫能力具有正確性、邏輯性、規(guī)范性與簡潔性特征[4]，分析其本質(zhì)內(nèi)涵得到屬性特點，如下表1.

表1數(shù)學(xué)解題書寫能力特征屬性分類表

數(shù)學(xué)解題書寫能力的正確性是語言表達基礎(chǔ)原則和根本保證；邏輯性是學(xué)生解題書寫能力高低的核心特征，這是實踐案例分析的結(jié)果[7；簡潔性是學(xué)生解題書寫能力的高階要求；規(guī)范性是外在表征，體現(xiàn)審美與態(tài)度，我們常說的規(guī)范解題書寫能力是上面四個性質(zhì)的總和.

4 實踐路徑

把握數(shù)學(xué)解題書寫能力內(nèi)涵和四個原則屬性，針對教學(xué)中師生存在問題，按照“教一學(xué)一評”一致性要求，得到如下培養(yǎng)學(xué)生解題書寫能力實踐路徑.

4.1 示范引領(lǐng)

學(xué)生數(shù)學(xué)解題書寫能力的培養(yǎng)從教師的示范引領(lǐng)開始，這是普遍共識，也是我們傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢所在.教學(xué)中的示范引領(lǐng)可以分為兩個方面.

首先是教師的課堂例題教學(xué)示范．對學(xué)生來說，解題過程書寫是從模仿教師行為開始的，受教師長期的、潛移默化的影響和嚴(yán)格的要求，逐漸領(lǐng)悟書寫要領(lǐng)，所以教師在課堂上必須有規(guī)范的解題書寫示范.教師可以抓住契機對解題書寫過程進行剖析：書寫過程可以劃分為幾個部分？每個部分的功能是什么？為什么寫這個部分？為什么這么寫這一步？這么寫有什么好處？不寫這一步會出現(xiàn)什么問題？為什么這樣安排步驟？為什么用這個詞語連結(jié)？等等，這樣外顯的解釋可以加速學(xué)生對解題書寫能力的理解，又可以加深學(xué)生對知識、方法的理解和運用.

其次是教師組織的教學(xué)引領(lǐng)行為.一線教師在此積累了豐富的經(jīng)驗，比如：課堂教學(xué)中的學(xué)生現(xiàn)場展示、優(yōu)秀作業(yè)與試卷的展評、課堂教學(xué)中的生生互評和同伴互助，等等，實現(xiàn)情感激勵，引起共情，引領(lǐng)學(xué)生向完整的、規(guī)范的、優(yōu)秀的解題書寫邁進.

教師要強化示范引領(lǐng)作用.目前高考重視學(xué)生思維過程的考查，“反套路，反刷題”，這要求教師樹立正確的教學(xué)理念，重視數(shù)學(xué)解題過程剖析與示范，加強傳統(tǒng)板書的書寫，引領(lǐng)學(xué)生通過規(guī)范解題提高邏輯思維能力，達到提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績目的.

4.2 學(xué)法指導(dǎo)

當(dāng)前對學(xué)生規(guī)范解題書寫能力培養(yǎng)最缺少的就是學(xué)法指導(dǎo).對此，可以根據(jù)內(nèi)容和學(xué)段，針對學(xué)生實際短板，適時開展專題學(xué)習(xí)、主題研究等，并貫穿在常規(guī)教學(xué)活動始終.

4.2.1 寫什么

（1）條件怎么用的要寫出來.

數(shù)學(xué)解題過程本質(zhì)是利用條件推出結(jié)論的過程，也是尋找條件與結(jié)論關(guān)系的過程，所以書面表達解題過程必須體現(xiàn)條件的運用過程.如果條件怎么用不書寫，就無法體現(xiàn)學(xué)生表達結(jié)論的知識與思維來源，容易造成邏輯混亂、書寫無序.事實上，由條件出發(fā)的書寫方式，也有助于學(xué)生厘清解題思路，特別是解題遇阻時，可以分析哪些條件沒用到或者運用不充分，或可發(fā)現(xiàn)解題的方向.從另一個角度講，解題的本質(zhì)就是逐個利用或綜合利用條件的過程.

（2）重要的公式與定理要寫出來，

如果說條件是“材料”、結(jié)論是“成品”的話，那么處理的“工具”就是數(shù)學(xué)上的公式和定理，因此數(shù)學(xué)解題過程的一個重要特征就是不斷的利用公式和定理進行推理和運算的過程，也就是俗語所說的“有理有據(jù)”.比如在解三角形時，先寫出余弦定理 a²= b²+c²-2bccosA ，然后再代人數(shù)字計算和推理；又如立體幾何中計算三棱錐體積時，先寫出公式形式 ，然后再運算，等等.因此，對形成解題思路、探尋解題結(jié)果產(chǎn)生重大作用的公式和定理，要旗幟鮮明地在題目中呈現(xiàn).

（3）關(guān)鍵的變形過程要寫出來.

數(shù)學(xué)解題過程是一個不斷推理和計算的過程，需要對于數(shù)學(xué)表達式變形推導(dǎo)或者圖形進行分析補充，有時還需要采取特殊的處理技巧和方法，而這樣的演算過程如果不寫出來，閱讀者就不可能理解推理的緣由，因此必須把這樣的關(guān)鍵變形推演過程在解題中呈現(xiàn)出來.比如利用橢圓定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，對 要寫出 平方得 ，再平方得， （a²-c²）x² ，此題若不寫出“移項，平方”，則結(jié)論就沒有邏輯論證基礎(chǔ)

（4）出現(xiàn)的符號、圖形要說明白.

數(shù)學(xué)解題過程中，因為推理和驗算的需要，有時需要對題目中的圖形進行補充或者引入新的變量，也就是常說的作輔助線和設(shè)輔助量，這些相對于原題的未知元素身份，必須給以介紹和闡述清楚.比如上面的橢圓標(biāo)準(zhǔn)推導(dǎo)過程中，令 b²=a²-c² ，才可以得到 ;又如立體幾何中引入空間坐標(biāo)系，必須介紹原點 σ_{O，x，y，z} 軸準(zhǔn)確位置和理由，等等.

（5）答案、結(jié)論要明確清晰表達

根據(jù)邏輯上三段論的形式：大前提、小前提、結(jié)論，數(shù)學(xué)解題過程是不斷獲得結(jié)論，并根據(jù)結(jié)論再獲得新結(jié)論的過程，因此數(shù)學(xué)解題的中的每一個結(jié)論都要被準(zhǔn)確、清晰地表達出來.一方面從應(yīng)試角度分析，學(xué)生可以獲得相應(yīng)的步驟得分；另一個方面也給學(xué)生檢查、反思提供了依據(jù).比如學(xué)生經(jīng)常要進行分類討論解決數(shù)學(xué)問題，此時對解題總的答案要分類明確并一一寫出，這樣可以避免漏掉某種類型，從而提高解題正確率.

4.2.2 怎么寫

（1）邏輯順序的要求.

按照邏輯順序分類，一般的書寫過程可以分為“執(zhí)因索果”的綜合法與“執(zhí)果索因”的分析法兩種形式，前者是主流，并且一般兩種形式不混用，否則容易造成表達混亂，特別是運用分析法證明問題時要嚴(yán)格按照“要證、只需證”的形式進行.如果因為題目復(fù)雜，的確需要兩種類型都用時，需要特別進行表明.比如在綜合法論證某問題時，中間某部分需要利用分析法，就可以直接寫出“下面先運用分析法論證某結(jié)論”進行獨立表達.高中數(shù)學(xué)解題過程還是綜合法的論證演算為主，實現(xiàn)“步步為營，井然有序”，不會產(chǎn)生跳步和漏步，也可把分析法轉(zhuǎn)化為綜合法書寫.對于反證法這樣的特殊論證方法，必須嚴(yán)格符合格式要求.

（2）語言表達的要求.

數(shù)學(xué)解題過程是利用數(shù)學(xué)語言表達推理驗算解決問題的過程，通常有三種語言表達方式一文字語言、符號語言、圖形語言，三種語言表達方式各有要求.

文字語言簡潔、明確.盡管數(shù)學(xué)提倡符號化、簡潔化，但是沒有語言敘述的純符號、字母運算在高中數(shù)學(xué)解題中幾乎不存在.有了語言文字的連接，會使解題敘述表達更充分、更明確，因此解題過程中文字語言必不可少.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不能被恰當(dāng)表達的解題過程，往往混亂且難以讀懂.要培養(yǎng)學(xué)生善于運用簡潔文字語言表達思維，特別注意邏輯連接詞的使用場景.同時，提醒學(xué)生注意書面語言和口語的差異化.

符號語言規(guī)范、準(zhǔn)確.一方面要善于利用邏輯連接符號表達，比如熟練掌握常見的“··，， ?，? ， ，”這些符號要規(guī)范使用；另一個方面要準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)中的專有符號，如“ ， ? ，U，∩”等等的使用絕不可亂用和錯用，這也是表達正確性的要求

圖形語言直觀、清晰.數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的一門學(xué)科，數(shù)形結(jié)合是處理數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，是學(xué)生直觀思維能力與邏輯思維能力的體現(xiàn).表述解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為論證說理更直觀，需要結(jié)合題目所需的圖形來呈現(xiàn).這里的圖形分為較為準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)圖形和為分析需要而畫的草圖、示意圖，解題做出的圖形要保證正確、清晰美觀、盡量精確，否則會給解題帶來麻煩甚至帶人誤區(qū)，我們經(jīng)常遇到學(xué)生因作圖不規(guī)范而造成解題失誤的情形.

三種語言綜合使用、合理運用，才使得解題過程書寫自然流暢、富有美感.

（3）規(guī)范布局的要求.

布局有設(shè)計.學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力的高低也會體現(xiàn)版面安排設(shè)計上.每一道數(shù)學(xué)題目的解題過程都是不同的，篇幅的長短變化也不相同，不同學(xué)生由于數(shù)學(xué)解題實踐經(jīng)驗和技能的積累層次不一致，對于解題過程的版面設(shè)計和書寫規(guī)劃會有不同的預(yù)設(shè)，比如，書寫是否分欄；圖形大小及安排的位置；行距和左右邊距的控制等等.學(xué)生必須根據(jù)已有的經(jīng)驗，合理安排文字、圖形、符號的位置與大小，形成美觀并錯落有致的布局，改掉隨心所欲的解題書寫壞習(xí)慣.

書寫要清晰.學(xué)生個體文字符號書寫能力存在很大差異，盡管期望學(xué)生書寫過程漂亮美麗，事實上卻不能要求全部學(xué)生做到這一點，但是必須讓學(xué)生做到書寫正確清晰.字體可以不漂亮，但是要保證解題過程中字跡工整、字體大小盡可能一致，讓閱讀者可以看得清、認得準(zhǔn)，形成橫成行、豎成列的良好書寫習(xí)慣.

修改要有序.解題過程中不可避免的要出現(xiàn)書寫錯誤、計算錯誤或者進入誤區(qū)，需要及時修訂錯誤或者改變解題進程，學(xué)生錯誤的方法是重筆墨涂改（現(xiàn)在考試中也很少允許涂改液修改卷面）造成卷面失調(diào)，而應(yīng)該是用筆一筆畫掉或者圈掉錯誤部分，重新書寫正確部分即可，這樣整個解題過程依然是美觀協(xié)調(diào)、干凈整潔，要堅決改正胡涂亂抹的錯誤習(xí)慣.

4.2.3 什么可不寫

解題過程要追求簡潔，就必須讓學(xué)生明確哪些內(nèi)容可以少寫或者不寫.根據(jù)一般的經(jīng)驗及閱卷的一般要求，以下內(nèi)容可以少寫或不寫.

首先，小學(xué)或者初中等內(nèi)容可以不寫詳細過程，可直接寫出結(jié)論.比如知道三角形三個邊長，可以直接得出直角三角形的結(jié)論，而不需要點明是由勾股定理得；三角形相似直接得到邊長比例關(guān)系；解二元一次方程組直接得到解而不需要寫計算過程，等等.

其次，具體的數(shù)字運算過程或者簡單的字母運算變形可以不寫；比如上面由 平方得 的具體運算過程可以不寫；又如解析幾何中聯(lián)立直線方程和二次曲線方程消元得到一元二次方程中，具體消元、合并過程可以不寫，等等.

當(dāng)然，這些不出現(xiàn)的過程是在打草紙上具體實現(xiàn)的.要始終把握這樣的原則，不寫的內(nèi)容不會對解題過程的完整性、正確性產(chǎn)生破壞，讓閱讀者不會產(chǎn)生理解困難和出現(xiàn)思維疑惑

4.2.4 什么不能寫

要本著力所能及的原則，會多少寫多少，無用的步驟甚至借題發(fā)揮的絕不寫，否則，會讓閱讀者對解題者能力和態(tài)度產(chǎn)生懷疑與質(zhì)疑.一線教師在批閱作業(yè)和試卷過程中，總會遇到“啼笑皆非”的解答，出現(xiàn)與題目無關(guān)的“借景生情”，可謂“滿紙荒唐言，一把辛酸淚”.一定要告誡學(xué)生與解題無關(guān)的內(nèi)容不要寫，要把精力放在題目研究上，保持實事求是的解題態(tài)度和踏踏實實的作風(fēng)，這也是文化育人要求的一部分.

4.3 評價糾正

根據(jù)解題書寫能力的四個原則要求，教師針對學(xué)生解題書寫過程中出現(xiàn)的問題，要進行針對性分析和及時反饋，并給與指導(dǎo)糾正，通過嚴(yán)格要求與實踐落實，提高學(xué)生解題書寫的嚴(yán)謹性、規(guī)范性，這是一個長期的、持久的過程.結(jié)合教學(xué)實際，有以下兩種的評價糾正范式.

（1）傳統(tǒng)的評價糾正模式：在實踐中，教師主要通過課堂教學(xué)中的師生互動語言評價和作業(yè)、試卷批閱中的書面評價實現(xiàn)糾正；采用的方式是普遍問題的統(tǒng)一講評糾正與個性化的單獨點評、面批糾正相結(jié)合；組織形式為教師評價糾正、同伴評價糾正、自我評價糾正.傳統(tǒng)模式的優(yōu)點是直接、有效，是一線教師培養(yǎng)學(xué)生解題書寫能力采用的主要途徑，缺點就是有時不能關(guān)注學(xué)生個性化需求、效率低.

（2）信息化的評價糾正模式：隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，人工智能與大數(shù)據(jù)分析技術(shù)迅速融人教育教學(xué)活動，給對學(xué)生個性化分析糾正帶來便利.例如，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化賦分量表，統(tǒng)計分析學(xué)生個體和團體解題書寫得分變化規(guī)律，推斷其糾正成效，并提出針對性教學(xué)調(diào)整方案；基于大數(shù)據(jù)分析學(xué)生邏輯連接詞的使用頻率，推斷學(xué)生書寫邏輯性的變化趨勢；掃描識別學(xué)生作業(yè)語言，利用人工智能進行語言特點分析，給出糾正建議等等.信息技術(shù)使用具有科學(xué)、高效的特點，創(chuàng)新使用信息技術(shù)，推進解題書寫過程的輔助教學(xué)，會促進教學(xué)生態(tài)改變，將是今后實踐與研究的一個重要話題

綜上，高中數(shù)學(xué)解題書寫能力是用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)文字語言、直觀的圖形語言、形式化的符號語言，以及多種語言形式的互通互譯來表征推理過程實現(xiàn)問題解決的能力[7]，是學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).強化教師示范引領(lǐng)、重視學(xué)法指導(dǎo)、創(chuàng)新評價糾正模式是提升學(xué)生解題書寫能力的有效路徑.提高學(xué)生解題書寫能力，可提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績，促進學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化育人目標(biāo).

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作者簡介劉景武（1976一），男，山東臨沂人，中學(xué)高級教師；研究方向為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考；有多篇論文發(fā)表.