在小學(xué)階段，實(shí)現(xiàn)概念性理解是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。它不僅能夠幫助學(xué)生記住數(shù)學(xué)公式或操作步驟，還能進(jìn)一步促進(jìn)他們對(duì)這些公式與操作步驟背后原理和含義的理解。倍是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常基礎(chǔ)且重要的概念，也是幫助學(xué)生理解乘法的意義及數(shù)字之間數(shù)量關(guān)系的最基本概念。因此，在教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算倍數(shù)，更重要的是要幫助學(xué)生真正理解倍這個(gè)概念的含義。

然而，在常規(guī)的課堂教學(xué)中，教師通常讓學(xué)生通過記憶的方式來掌握概念。這導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)完“倍的認(rèn)識(shí)”一課后，能夠說出兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，卻說不清倍數(shù)后為什么不能加單位，以及倍是一種比較關(guān)系等深層次的概念。為解決以上問題，筆者將傳統(tǒng)的以問題解決為主要手段的教學(xué)方式調(diào)整為問題提出教學(xué)，幫助學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)生活情境中的數(shù)量關(guān)系，從而真正理解倍的概念。同時(shí)，希望通過“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的嘗試，為讀者呈現(xiàn)運(yùn)用問題提出開展概念課教學(xué)的基本教學(xué)模式。

一、基于教學(xué)目標(biāo)的學(xué)情調(diào)查

教學(xué)目標(biāo)有引導(dǎo)學(xué)習(xí)、教學(xué)、評(píng)價(jià)的功能，能夠體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值。基于教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)課前評(píng)價(jià)任務(wù)，并以此為依據(jù)量體裁衣，設(shè)計(jì)適合學(xué)生的課程教學(xué)內(nèi)容，有助于更精準(zhǔn)地開展后續(xù)教學(xué)活動(dòng)。

“倍的認(rèn)識(shí)”一課的主要教學(xué)目標(biāo)如下。

目標(biāo)1：充分認(rèn)識(shí)倍的產(chǎn)生和倍的概念。

目標(biāo)2：在觀察、比較、變化中進(jìn)一步加深對(duì)倍的本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)到倍表示的是一種數(shù)量關(guān)系。

目標(biāo)3：理解“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少\"的含義，會(huì)運(yùn)用倍數(shù)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

目標(biāo)4：經(jīng)歷倍的概念形成過程，養(yǎng)成善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

基于上述教學(xué)目標(biāo)，筆者確立了如表1所示的課前評(píng)價(jià)任務(wù)，并據(jù)此設(shè)計(jì)前測(cè)題，對(duì)全班42個(gè)學(xué)生展開調(diào)查，以精準(zhǔn)定位學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)倍概念的理解主要存在三方面問題：（1）部分學(xué)生完全沒有聽說過倍；（2）無法確定標(biāo)準(zhǔn)量；（3）不清楚倍數(shù)關(guān)系，無法用圖式或算式表示倍的數(shù)量關(guān)系。針對(duì)這些問題，本節(jié)課采用問題提出的方式開展教學(xué)，以期在達(dá)成知識(shí)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，讓學(xué)生能夠積極主動(dòng)地參與到提出問題、分析問題和解決問題的過程中。

二、基于問題提出的概念課教學(xué)過程

在“倍的認(rèn)識(shí)”一課中，根據(jù)學(xué)生理解倍的意義的表現(xiàn)和課前診斷結(jié)果，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)核心任務(wù)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程，落實(shí)核心素養(yǎng)。在問題提出課堂中，教師需要在呈現(xiàn)任務(wù)情境的同時(shí)，給出提示語，幫助學(xué)生明確提出問題的數(shù)量、難度、指向等具體任務(wù)要求。之后，學(xué)生再根據(jù)這些要求提出問題。

任務(wù)1：請(qǐng)你根據(jù)下圖提出數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生會(huì)提出如下問題：

① 胡蘿卜和白蘿卜一共有多少個(gè)？② 白蘿卜比胡蘿卜多多少個(gè)？③ 胡蘿卜比白蘿卜少多少個(gè)？④ 白蘿卜的個(gè)數(shù)是胡蘿卜的幾倍？

基于此，引導(dǎo)學(xué)生討論：為什么白蘿卜的個(gè)數(shù)是胡蘿卜的3倍？并請(qǐng)學(xué)生去黑板上擺一擺、圈一圈，然后說一說。

任務(wù)1從學(xué)生熟悉的情境引入倍的概念，有助于他們初步感知倍，注意解決有關(guān)倍的問題的關(guān)鍵：明確誰是標(biāo)準(zhǔn)，有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)。

任務(wù)2：請(qǐng)?jiān)诳蛑袆?chuàng)造出你喜歡的3倍。

學(xué)生典型作品如圖1所示。

任務(wù)2旨在幫助學(xué)生建構(gòu)倍的模型，理解倍的本質(zhì)。首先，用標(biāo)準(zhǔn)量理解倍。同樣是3倍，選擇的標(biāo)準(zhǔn)可以是實(shí)物、示意圖、線段圖等多種直觀形式，也可以是字母、鼓掌次數(shù)等抽象形式。其次，用“變式結(jié)構(gòu)\"理解倍。可以分兩個(gè)層次：一是打亂實(shí)物的排列順序，二是隱藏實(shí)物只出示數(shù)據(jù)。引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注對(duì)象從實(shí)物的比較過渡到數(shù)之間的比較，從“形”過渡到“數(shù)”，對(duì)倍的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。最后，在“變化\"中理解倍。“變化\"可分為兩類：一是標(biāo)準(zhǔn)不變，被比較的量變化；二是被比較的量不變，標(biāo)準(zhǔn)變化。學(xué)生通過在變化中理解倍，抽象出倍的本質(zhì)：兩個(gè)數(shù)相比較，以一個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)數(shù)包含幾個(gè)這個(gè)數(shù)就是它的幾倍。

任務(wù)3：請(qǐng)你選擇兩個(gè)或兩個(gè)以上的信息，提出難度不同的有關(guān)倍的數(shù)學(xué)問題來考考老師和同學(xué)。

①3 個(gè)蘋果 ②6 個(gè)香蕉 ③12 個(gè)橙子 ④1 倍⑤2 倍 ⑥3 倍 ⑦ ⑧

我選，我提出的問題是：

任務(wù)3由教師給出信息，讓學(xué)生挑選信息后提出更有挑戰(zhàn)性的問題。這與任務(wù)1相呼應(yīng)，并在此基礎(chǔ)上提升難度，讓學(xué)生在完整理解倍含義后提出較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。隨后，教師對(duì)學(xué)生所提出的問題進(jìn)行分類、整理與評(píng)價(jià)，讓學(xué)生清晰地知道自己的學(xué)習(xí)歷程“到哪里了”，距離學(xué)習(xí)目標(biāo)“還有多遠(yuǎn)”，確保實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生會(huì)提出三類數(shù)學(xué)問題：一是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，二是求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，三是求一個(gè)數(shù)的幾倍多幾或少幾是多少。具體如表2所示。

三、基于問題提出的問題解決

問題解決是任何數(shù)學(xué)課都必不可少的環(huán)節(jié)。而在問題提出教學(xué)中，若學(xué)生需要解決的問題來自他們自己或同學(xué)，他們參與問題解決的積極性會(huì)更高。同時(shí)，問題解決也是評(píng)估教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成的重要手段。因此，為了優(yōu)化作業(yè)形式與作業(yè)內(nèi)容，輔助教師評(píng)估學(xué)生學(xué)習(xí)成果并調(diào)整教學(xué)，本節(jié)課結(jié)束后，筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)了三道后測(cè)題。具體如下。

1.填空。

【設(shè)計(jì)意圖】由于水果圖雜亂無章，學(xué)生已經(jīng)無法使用圈、畫等方法找倍，因此本題將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引向“比較量里包含幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)數(shù)量之間倍的關(guān)系也可以是它們的除法關(guān)系，從而使他們的認(rèn)知從乘法結(jié)構(gòu)走向除法結(jié)構(gòu)。

2.△和是倍數(shù)關(guān)系，你覺得 Δ 可能有幾個(gè)？你能想出幾種？三角形：圓形：00000000三角形的數(shù)量可能是（ ）個(gè)。

【設(shè)計(jì)意圖】本題為開放式題目，考查學(xué)生對(duì)倍概念內(nèi)涵的理解。解答本題時(shí)，學(xué)生容易局限于某一種情況，忽略三角形既可以是標(biāo)準(zhǔn)量，也可以是比較量。本題旨在通過這一易錯(cuò)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生有序和嚴(yán)謹(jǐn)思考的能力。

3.先閱讀下面各題，再回答問題。

①12+12+12=70

② 朵朵一分鐘可以算12道題，3分鐘可以算多少道題？③ 洋洋收集了12張郵票，當(dāng)當(dāng)收集的張數(shù)是他的3倍多4張，當(dāng)當(dāng)收集了幾張？④ 一支毛筆12元，一支鉛筆3元，小麗各買一支，一共需要多少錢？⑤ 一本筆記本12元，天天買了3本，需要多少錢？⑥ 一個(gè)籠子最多裝3只兔子，12只兔子需要幾個(gè)籠子？⑦ 飛機(jī)每分鐘大約飛行12千米，3分鐘大約飛行了多少千米？

（1）上面哪些題目能用算式 12×3 來解決，填寫序號(hào)：（ ）。

（2）找一找，在你選的這些題中能找到每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)嗎？想一想，一倍數(shù)、倍數(shù)、多倍數(shù)與每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)有什么聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖】同結(jié)構(gòu)的題組有助于學(xué)生建立新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，透過形式走向?qū)嵸|(zhì)。倍數(shù)的問題，追溯其本質(zhì)也屬于份數(shù)的問題。一倍數(shù)相當(dāng)于每份數(shù)，倍數(shù)相當(dāng)于份數(shù)，多倍數(shù)相當(dāng)于總數(shù)。本題通過不同情境下的“ 12×3^′ ”，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，抽象出題組中題目共同的性質(zhì)。

后測(cè)結(jié)果顯示，學(xué)生能較好地找到標(biāo)準(zhǔn)量、倍數(shù)和比較量之間的關(guān)系。和前測(cè)相比，他們?cè)谟脠D式表示倍數(shù)關(guān)系及列出表達(dá)式方面有了明顯的進(jìn)步，但在更為一般化地表示倍的數(shù)量關(guān)系方面還有待提升。

四、基于問題提出的課堂教學(xué)改進(jìn)

本節(jié)課基于問題提出展開教學(xué)實(shí)踐，基本達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在標(biāo)準(zhǔn)量的確定、倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)和相關(guān)問題的解決等方面都達(dá)到了預(yù)期自標(biāo)。同時(shí)，學(xué)生在課上積極主動(dòng)提出數(shù)學(xué)問題，不僅幫助教師了解了他們的想法，還有助于教學(xué)過程的推進(jìn)。然而，回顧整個(gè)教學(xué)過程，本節(jié)課還有如下四個(gè)方面需要進(jìn)一步改進(jìn)。

第一，可在上課之初增加“標(biāo)準(zhǔn)變化會(huì)導(dǎo)致倍的關(guān)系隨之變化\"的變式圖（如圖2），進(jìn)一步抓住倍的本質(zhì)，讓學(xué)生走出情境中“只要看有幾個(gè)圈”的誤區(qū)。這是由于學(xué)生一開始對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的認(rèn)識(shí)不明確，很難自己圈出標(biāo)準(zhǔn)量。而通過標(biāo)準(zhǔn)的變化，學(xué)生就能夠明確“只有標(biāo)準(zhǔn)確定了，倍數(shù)的關(guān)系才能確定”這一事實(shí)。

第二，在展示學(xué)生創(chuàng)造的“你喜歡的3倍\"的作品時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生成為評(píng)價(jià)的主角，點(diǎn)評(píng)其他同學(xué)的作品，由此診斷學(xué)生是否真的理解3倍的模型。如果課堂主要以教師評(píng)價(jià)為主，教師就無法真正了解學(xué)生的真實(shí)想法。因此，可在后續(xù)調(diào)整時(shí)增加學(xué)生評(píng)價(jià)同伴作品的環(huán)節(jié)，在進(jìn)一步了解學(xué)生想法的同時(shí)，鞏固學(xué)生對(duì)3倍概念的理解。

第三，強(qiáng)調(diào)圖式表征與算式表征“ 6÷2=3^′ 之間的聯(lián)系。學(xué)生不能只知道算式表達(dá)式，而是既要會(huì)用圖式直觀表示倍數(shù)關(guān)系，又能在此基礎(chǔ)上解釋并列出表達(dá)式，以確保達(dá)成對(duì)倍的概念性理解。如圖3所示，在突破圈一圈的方法后，教師提問：“在算式 6÷2=3 里，你也看到標(biāo)準(zhǔn)和3份了嗎？誰來說一說？”學(xué)生會(huì)回答：“標(biāo)準(zhǔn)是2，也就是兩個(gè)胡蘿卜；3份則是指結(jié)果這個(gè)3?！庇纱?，通過把前面的圖式表征與算式表征“ 6÷2=3… ”進(jìn)行互譯，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解算式的含義。

第四，在問題提出環(huán)節(jié)，由于學(xué)生無法理解什么是“1倍”，教師需要變化表達(dá)式的形式，出示算式 ^*3×1 ”和“ 3×3+2^? ，讓學(xué)生提出含有現(xiàn)實(shí)情境的問題，進(jìn)一步理解“1倍\"的含義以及后續(xù)的“一個(gè)數(shù)的幾倍多幾或少幾是多少”之類的問題。

五、問題提出實(shí)現(xiàn)概念性理解的教學(xué)反思

（一）問題提出教學(xué)有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)生的概念性理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)涉及抽象概念（如倍的認(rèn)識(shí)）時(shí)，學(xué)生理解起來往往存在困難。以問題提出為核心設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生自己提出疑問，能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，促使他們主動(dòng)思考概念的本質(zhì)。同時(shí)，教師也能夠針對(duì)學(xué)生的理解及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，讓學(xué)生逐步建構(gòu)對(duì)概念的深層次理解。本研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過基于問題提出的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生能夠提出關(guān)于倍的模型情境問題，并能逐步脫離現(xiàn)實(shí)情境，用一般性圖式（如線段圖等）表示倍的關(guān)系問題，從而實(shí)現(xiàn)從特殊到一般、從直觀到抽象的教學(xué)自的。

（二）問題提出教學(xué)促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要通過發(fā)現(xiàn)問題和提出問題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和創(chuàng)新意識(shí)。在本節(jié)課中，學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題的過程中已經(jīng)對(duì)情境和條件進(jìn)行了加工，如此，后面的問題解決也就順理成章了。同時(shí)，將學(xué)生提出的問題納入課堂待解決問題中，學(xué)生也會(huì)更有成就感和參與感。這一過程不是借助傳統(tǒng)課堂上的\"記憶、理解、應(yīng)用\"等認(rèn)知方式，而是通過為學(xué)生提供主動(dòng)觀察、比較和分析的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生在分析和評(píng)價(jià)中創(chuàng)造新的問題。

（三）問題提出教學(xué)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由積極的學(xué)習(xí)環(huán)境

問題提出課堂的核心價(jià)值在于為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，改變學(xué)生參與學(xué)習(xí)的身份，使學(xué)生從被動(dòng)的問題解決者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)的問題提出者和問題解決者。這一過程中，不同程度的學(xué)生都能參與到課堂中，并且通過交流、分享、評(píng)價(jià)發(fā)展積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感，提升參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

本節(jié)課通過問題提出的教學(xué)策略，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生從被動(dòng)解題向主動(dòng)建構(gòu)的轉(zhuǎn)變。教學(xué)伊始，學(xué)生基于觀察倍數(shù)關(guān)系自主生成現(xiàn)實(shí)情境問題；繼而通過分析白蘿卜與胡蘿卜的數(shù)量對(duì)比確定標(biāo)準(zhǔn)量，提出“差值比較\"（如多/少）與“倍數(shù)關(guān)系\"（如幾倍）的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用圖式進(jìn)行表征；最后通過拓展性的問題設(shè)計(jì)，進(jìn)一步鞏固了對(duì)倍的概念理解。本教學(xué)實(shí)踐表明，問題提出策略不僅為學(xué)生提供了開放性強(qiáng)的探究空間，還顯著提升了學(xué)生的課堂參與度與學(xué)習(xí)成就感。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐冉冉，李丹楊，姚一玲，等.指向教學(xué)改進(jìn)的“問題提出”數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（10）：1-8.

（1.浙江省杭州市蕭山區(qū)新街小學(xué)2.杭州師范大學(xué)中國教育現(xiàn)代化研究院）