與圓有關(guān)的壓軸題，由于其難度較高，學(xué)生往往找不到切入口.而將題中隱性條件顯現(xiàn)出來(lái)，作出一個(gè)輔助圓，利用圓的有關(guān)知識(shí)求解，有利于化難為易，達(dá)到“柳暗花明又一村\"的效果.

1定點(diǎn)定長(zhǎng)

概念反映了事物的本質(zhì)特征，圓是到一定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，因此，當(dāng)題中出現(xiàn)到一定點(diǎn)距離相等的一組線(xiàn)段時(shí)，就有隱形圓存在，此時(shí)，構(gòu)造以這個(gè)點(diǎn)為圓心的圓，能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破[1].

例1如圖1所示，在四邊形ABCD中， AB=AC=AD=2 BC=1，AB//CD ，求BD的長(zhǎng).

分析：因?yàn)?AB=AC=AD= 2，所以 B，C，D 三個(gè)點(diǎn)到同一個(gè)點(diǎn) A 的距離相等.根據(jù)圓的定義，這三個(gè)點(diǎn)一定在以 A 為圓心， AB 為半徑的同一個(gè)圓上.如圖2所示，以 A 為圓心， AB 長(zhǎng)為半徑作圓，則點(diǎn) _D，C 在圓 A 上.如何利用題中的一組平行線(xiàn)呢？延長(zhǎng) BA 交 ?A 于點(diǎn) F ，連接 DF .根據(jù)平行線(xiàn)所夾的弧相等，得 ，所以 DF=CB=1. 延長(zhǎng) BA 交 ?A 于點(diǎn) F 有兩個(gè)好處，一是得到了一組平行弦，二是獲得了一條直徑.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得 ∠FDB=90^° ，這樣就把所求線(xiàn)段置于一個(gè)直角三角形中.在 RtΔBDF 中， BF=4，F(xiàn)D=1 ，由勾股定理可得

點(diǎn)評(píng)：常規(guī)解法中，需要利用等積法、等腰三角形的性質(zhì)定理、勾股定理，運(yùn)算步驟比較多，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的計(jì)算能力.而利用圓的定義，作出輔助圓，結(jié)合圓的性質(zhì)，口算即可算出結(jié)果，有利于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓的概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)約意識(shí).

2定邊定角

如果一個(gè)三角形的某個(gè)角固定，這個(gè)角所對(duì)的邊也固定，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)一定在以定邊為弦，以這個(gè)角為圓周角的弧上運(yùn)動(dòng).根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，可得相等的圓周角所對(duì)的弧也相等，此時(shí)構(gòu)造輔助圓，可以利用圓的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，問(wèn)題將化難為易，事半功倍.

例2如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²-3ax-4a 經(jīng)過(guò)點(diǎn) c ，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（0，2），A，B 是拋物線(xiàn)與 x 軸的兩交點(diǎn)， D 是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).

（1）求 Ψ_a 的值及 A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接 BC，AC ，沿直線(xiàn) BC 將 ΔABC 翻折， A^′ 為點(diǎn) A 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，你能求得點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)嗎？

（3）已知 P 是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)，且 ∠BPC= ∠BAC ，你能求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)嗎？

分析： （過(guò)程略.）

（2）A^′（1，4）. （過(guò)程略.）

（3）因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)固定，所以 ∠BAC 與 BC 邊長(zhǎng)都是固定的.因?yàn)?∠BPC=∠BAC ，所以∠BPC 的大小也是定值，因此符合題意的點(diǎn) P 一定在以 BC 為弦， ∠BPC 為圓周角的弧上運(yùn)動(dòng).那么，這條弧所在的圓如何確定呢？

其一，這個(gè)圓是 ΔABC 的外接圓，由第（2）小題知 ∠ACB= 90^° ，所以AB是這個(gè)圓的直徑.如圖4所示，圓 M 是以 AB 為直徑的圓，其與直線(xiàn) DM （即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸）交于點(diǎn) P .根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到 ∠CPB= ∠CAB 易得 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

其二，在同圓或等圓中，根據(jù)同弦所對(duì)的圓周角相等可得，以BC 為對(duì)稱(chēng)軸作圓 M 的軸對(duì)稱(chēng)圖形圓 M^′ ，當(dāng)點(diǎn) P 在圓 M^′ 上且在直線(xiàn) BC 上方運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∠CPB= ∠CAB .如圖5所示，仿照第（2）小題的情況，沿直線(xiàn) BC 將 ΔABC 翻折， A^′ 是點(diǎn) A 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此時(shí)以 A^′B 為直徑作圓M^′ ，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與圓 M 交于點(diǎn) P^′ .由同弧所對(duì)的圓周角相等及翻折的性質(zhì)，得 ∠CP^′B=∠CA^′B= ∠CAB .作 A^′H⊥x 軸于點(diǎn) H ，作 M^′E⊥A^′H 于點(diǎn)E ，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn) F ，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，可得 ，所以 ，于是可得M^′F 的長(zhǎng)為 在直角三角形 M^′P^′F 中，由勾股定理，可得 ，于是可得P^′M 的長(zhǎng)為 .由此可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)：此題在求第一個(gè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)時(shí)，利用作出的輔助圓，通過(guò)觀察， ? 算就可以求得.第二個(gè)符合題意的點(diǎn) P 容易被忽略，需要注意的是，以 BC 為弦向上、向下都可以構(gòu)造圓，都會(huì)出現(xiàn)與已知角相等的圓周角.因此，利用輔助圓解題避免了漏解的現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了化難為易的目的.

3瓜豆原理

瓜豆原理是指主從聯(lián)動(dòng)，即在圖形中有一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)，無(wú)論三個(gè)點(diǎn)在不在同一直線(xiàn)上，如果主動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段或圓上運(yùn)動(dòng)，那么從動(dòng)點(diǎn)也在線(xiàn)段或圓上運(yùn)動(dòng).正所謂“種瓜得瓜，種豆得豆\"[2].如圖6所示.

例3如圖7所示，在直角三角形 ABC 中， ∠ACB 為直角，兩直角邊 AC=8，BC=6 ，以點(diǎn) A 為圓心，4為半徑作圓 A，D 是圓上任一點(diǎn)，連接 BD ，取線(xiàn)段 BD 的中點(diǎn) M ，求線(xiàn)段CM 長(zhǎng)度的最值.

分析：因?yàn)锳BC是直角三角形，兩直角邊分別是8和6，根據(jù)勾股定理，可得斜邊為10，即 AB=10 本題中的定點(diǎn)是 B ，主動(dòng)點(diǎn)是 D ，從動(dòng)點(diǎn)是 M ，當(dāng)點(diǎn) D 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 也一定在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)M 所在圓的圓心在哪里，半徑是多少？此時(shí)要從圖形變換的角度看點(diǎn) D 與點(diǎn) M 的關(guān)系，即點(diǎn) M 相當(dāng)于將點(diǎn) D 以點(diǎn) B 為位似中心，縮小一半得到的.所以將點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)路徑，即圓 A 以點(diǎn) B 為位似中心，縮小一半即得點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)路徑，如圖8所示.將圓 ∴A 以點(diǎn) B 為位似中心，縮小一半，即點(diǎn) _AB 的中點(diǎn) N ，就是要找的圓心，將圓 A 的半徑4縮小一半即為2，就是要找的圓的半徑.顯然， CM 的最大值就是 CM₁=5+2=7 ，CM 的最小值就是 CM₂=5-2=3

點(diǎn)評(píng)：如何由題中已有的瓜得到另一個(gè)瓜呢？本題采用了位似變換.因?yàn)槎c(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，所以采用位似變換即可.當(dāng)定點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上時(shí)，要先旋轉(zhuǎn)再位似變換.而其中關(guān)鍵是尋找旋轉(zhuǎn)中心、位似中心，在確定另一個(gè)圓時(shí)，要確定好圓心與半徑.

隱形圓就是一雙隱形的翅膀，利用定點(diǎn)定長(zhǎng)、定邊定角、瓜豆原理，讓學(xué)生展翅翱翔，在聯(lián)想與想象中，有利于啟迪學(xué)生的思維，使學(xué)生擁有面對(duì)困難的堅(jiān)定信念.用這樣的方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，難道不是一種美的享受嗎？

參考文獻(xiàn)：

[1]龔平.巧用“瓜豆原理”探究軌跡問(wèn)題[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2025（12）：20-23.

[2]劉昌典.借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施解題教學(xué)—以“定點(diǎn)定長(zhǎng)探路徑”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（14）：40