中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0057 -04

分析近五年的全國高考數(shù)學(xué)試卷，2020年全國理科Ⅰ卷第20題、2020年新高考Ⅰ卷第22題，以及2022年新高考Ⅰ卷第21題都考查了定點(diǎn)、定值問題.這些題目用齊次化方法去求解，可以減少計(jì)算量，有助于培養(yǎng)學(xué)生多角度觀察和解決問題的能力.

1圓錐曲線中齊次化的類型分析

1.1 圓錐曲線上一點(diǎn)與曲線上另外兩點(diǎn)的斜率之和（或之積）問題

對(duì)于點(diǎn)在圓錐曲線上，運(yùn)用齊次化方法解題可以采用兩種方法：一是平移坐標(biāo)系，將該點(diǎn)移成新坐標(biāo)系下的原點(diǎn)；二是對(duì)圓錐曲線和直線的方程進(jìn)行構(gòu)造，出現(xiàn)斜率式子中的分子和分母，然后再進(jìn)行齊次化.下面我們用齊次化方法推導(dǎo)一般性結(jié)論.

定理1 直角弦性質(zhì)：張角為直角，直線過定點(diǎn)

過橢圓 上任意定點(diǎn) P（x₀ y₀ ）作直線 PM 與 PN 交橢圓于 M，N 兩點(diǎn)，當(dāng) PM⊥ PN 時(shí)，直線 MN 過定點(diǎn)

由 MP⊥NP ，則 即 （x₀-x₁）（x₀-x₂）+（y₀-y₁）（y₀-y₂）=0. 其中 所以 又因?yàn)橹本€MN不過點(diǎn) P（x₀，y₀） ，所以 kx₀-y₀+m≠0 所以 a²（y₀+kx₀+m）-b²（y₀+kx₀-m）=0. 即 （a²-b²）y₀=k（b²-a²）x₀-（a²+b²）m. （204號(hào) 即直線 MN 過定點(diǎn)

證法2 將坐標(biāo)原點(diǎn)移至點(diǎn) P ，這樣在新坐標(biāo)系下橢圓方程為： 化簡，得 b²（x+x₀）²+a²（y+y₀）²-a²b²=0. 由 b²x₀²+a²y₀²=a²b² ，得 設(shè)直線 MN 在新坐標(biāo)系下方程為 mx+ny=1 ，將 b²x²+a²y²+2（b²x₀x+a²y₀y）（mx+ny）=0 化簡，得 （b²+2b²mx₀）x²+（a²+2a²ny₀）y² （204號(hào)

等式兩邊同時(shí)除以 x² ，令 ，得（ a²

（

兩根為k和k，由-1=kk=（a2+2a2ny） ，則 直線MN在新坐標(biāo)系下過定點(diǎn)

-2a2），再將坐標(biāo)系平移回去，得

可得直線MN過定點(diǎn) 證法3 收?qǐng)A卞積x2

，展開化簡，得

設(shè)直線 ，將直線

l_yN 方程和 ① 式聯(lián)立，得

化簡，得

在上式等號(hào)兩邊同時(shí)除以 （x-x₀）² ，令 k （20

方程的兩根分別是 k_PM，k_PN ，由題目條件 k_PMk_PN =-1 和韋達(dá)定理可得 即 代入直線 l_MN 方程有 得定點(diǎn)坐標(biāo) 用上述齊次化的方法，我們可以得出雙曲線、拋物線中直角弦的性質(zhì).

定理2 過雙曲線 上任 意定點(diǎn) M（x₀，y₀） 作直線 MA 與 MB 交雙曲線于 ^A，B 兩點(diǎn)，當(dāng) MA⊥MB 時(shí)，直線 AB 過定點(diǎn)（

定理3 過拋物線 y²=2px（pgt;0） 上任意定點(diǎn)M（x₀，y₀） 作直線 MA 與MB交拋物線于 ^A，B 兩點(diǎn)，當(dāng) MA⊥MB 時(shí)，直線 AB 過定點(diǎn) （2p+x₀，-y₀）.

說明 上述定理1和定理2的結(jié)論可以統(tǒng)一為過定點(diǎn) -2），其中e為離心率.

1.2圓錐曲線上一定點(diǎn)與圓錐曲線上另外兩點(diǎn)連線的傾斜角互補(bǔ)，兩點(diǎn)連線斜率為定值

定理4過圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）上一定點(diǎn)傾斜角互補(bǔ)的兩條直線與該圓錐曲線的另兩個(gè)交點(diǎn)的連線的傾斜角為定值.

下面我們以橢圓證明為例，給出此性質(zhì)的證明，雙曲線和拋物線證明方法可以參照橢圓的證明方法.

在上述定理1證法3中的 ② 式，由兩條直線傾斜角互補(bǔ)可得 k₁+k₂=0 ，再由韋達(dá)定理可得 =0，所以kMN = 直線 l_MN 斜率為定值.

1.3在圓錐曲線外的一點(diǎn)與圓錐曲線上兩點(diǎn)連線斜率之和（或之積）為定值問題

例1已知橢圓的中心為 o ，長軸、短軸的長分別為 2a，2b（agt;bgt;0），A，B 分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且 OA⊥OB ，求證 為定值[1].

證明 因?yàn)?o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以橢圓方程不用變形，我們設(shè)直線 l_AB ： mx+ny=1 與橢圓方程聯(lián)立，得

在方程的兩邊同時(shí)除以x2，令k =-0， 有

兩根為 k_OA，k_OB ，由 OA⊥OB 和韋達(dá)定理可得

整理化簡，得 所以

其中 h 為原點(diǎn) o 到直線 l_AB 的距離.由點(diǎn)到直線的距離公式可得 所以 即 為定值.

1.4給出的斜率關(guān)系不明顯，經(jīng)過轉(zhuǎn)化才可以變成兩斜率之和或之積的問題.

例2已知 ^A，B 分別為橢圓 E 1）的左、右頂點(diǎn)， G 為 E 的上頂點(diǎn)， 為直線 x=6 上的動(dòng)點(diǎn)， PA 與 E 的另一交點(diǎn)為 δ_C，PB 與 E 的另一交點(diǎn)為 D

（1）求 E 的方程；

（2）證明：直線 CD 過定點(diǎn).

解析 （1）橢圓 E 的方程為

（2）設(shè) P（6，t） ，其中 t∈R ，則 且 k_PB=3k_PA

又由橢圓的第三定義可得，

我們不妨設(shè)直線 CA 的斜率為 k ，則直線 BD 的斜率為 3k ，直線 CB 的斜率為

則

構(gòu)造橢圓方程 +y²=1 ，化簡得

設(shè)直線 l_cD ： m（x-3）+ny=1 和 ③ 聯(lián)立，得 整理化簡，得

-3）y=0.方程兩邊同時(shí)除以（-3）2，令 =-0，

即 =0，兩根為kBc，kBD·由條件 和韋達(dá)定理可得

解得 直線 l_cD ： 令 y=0 ，可得直線 CD 過定點(diǎn)

1.5 斜率關(guān)系確定，但是曲線方程不明顯，要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

例3過橢圓 的右焦點(diǎn) F 作兩條相互垂直的弦 AB，CD ，弦 AB，CD 的中點(diǎn)分別為 M，N. （20證明：直線 MN 過定點(diǎn).

證明設(shè)動(dòng)點(diǎn) M（x，y） ，由弦中點(diǎn)的性質(zhì)，運(yùn)用

點(diǎn)差法，可以得到

化簡，得 這是動(dòng)點(diǎn) M，N 所在的曲線方程 C ，將曲線方程

+1）=0 化簡，得 C^′ ： 設(shè)直線 l_MN ： m（x-1）+ny=1 和曲線 C^′ 方程

聯(lián)立，則 展開整理，得

在方程兩邊同時(shí)除以（x-1）2，令k =-0， 則 兩根為 k_FM，k_FN ，再由題目條件 FM⊥FN 和韋達(dá)定理可得kFmkN=-1=3+3m， ，求出 （2直線 l_MN ，令 y=0 可得定點(diǎn)坐標(biāo)為

2 結(jié)束語

應(yīng)用齊次化方法求解圓錐曲線問題，關(guān)鍵在于找出兩直線斜率之積或之和為定值的條件，通過構(gòu)造齊次方程，運(yùn)用方程思想求解相關(guān)問題，這要求學(xué)生熟練掌握坐標(biāo)系平移、方程拆分化簡、曲線軌跡求解以及幾何圖形的代數(shù)轉(zhuǎn)化等知識(shí).此類題目綜合性強(qiáng)，著重考查學(xué)生綜合分析與解決問題的能力.圓錐曲線知識(shí)兼顧了幾何和代數(shù)的特點(diǎn)，具有圖形美、結(jié)論美、思想美等特點(diǎn).在高三復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生回歸教材，引導(dǎo)學(xué)生從多角度對(duì)題目進(jìn)行分析和探究，重視挖掘試題的根源，嘗試一題多解[2]，讓學(xué)生動(dòng)手去算，對(duì)每一種類型的題型給出訓(xùn)練的變式和方法總結(jié)，提升學(xué)生整理化簡計(jì)算的能力，多角度、多方法活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版：數(shù)學(xué)（選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程）[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]楊永清.借題生長廣探究，挖掘本真妙化歸：與斜率有關(guān)的圓錐曲線定點(diǎn)及定值齊次化法求解初探［J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2024（31） ：38 -40.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]